Question

Resolva a equação: sen²x + 7 . sen x + 6 = 0 , para ≤ x ≤ 2 π

Answer 1

Observando atentamente a equação, podemos notar uma semelhança com uma equação de 2º grau. Vamos então fazer uma substituição para podermos trata-la realmente como uma equação quadrática:

$Para~~\boxed{sen(x)=w}~,~a~equacao~fica:\\\\\\\boxed{w^2+7w+6~=~0}$

Utilizando Bhaskara, podemos determinar soluções para esta equação:

$\Delta~=~7^2-4\cdot1\cdot6\\\\\Delta~=~49-24\\\\\boxed{\Delta~=~25}\\\\\\w'~=~\dfrac{-7+\sqrt{25}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{-7+5}{2}~=~\dfrac{-2}{2}~\Rightarrow~\boxed{w'~=\,-1}\\\\\\w''~=~\dfrac{-7-\sqrt{25}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{-7-5}{2}~=~\dfrac{-12}{2}~\Rightarrow~\boxed{w''~=\,-6}$

Cuidado! Estas são soluções da equação polinomial de 2º grau encontrada a partir da equação trigonométrica dada no exercício, precisamos então verifica-las.

Vamos verificar os dois valores achados voltando a substituição feita anteriormente.

$Para~\underline{w=w'=-1}:\\\\w~=\,-1~~\Rightarrow~~\boxed{sen(x)~=\,-1}\\\\A~funcao~sen(x)~pode~assumir~valor~-1~para~x\in[0,2\pi]~?\\Sim,~portanto~w'~nos~dar\acute{a}~uma~solucao~a~eq.~trigonometrica~tambem.\\\\\\Para~\underline{w=w1'=-6}:\\\\w~=\,-6~~\Rightarrow~~\boxed{sen(x)~=\,-6}\\\\A~funcao~sen(x)~pode~assumir~valor~-6~para~x\in[0,2\pi]~?\\N\tilde{ao},~a~funcao~seno~tem~seu~valor~minimo~igual~a~-1~e~maximo,\\+1,~logo~w''~nao~nos~leva~a~uma~solucao~da~eq.~trigonometrica.$

Certo, sabemos então que a solução da equação trigonométrica é um "x" tal que sen(x) vale -1 e x pertence ao intervalo [0, 2π].

Como podemos ver na tabela abaixo, seno é negativo no 3º e 4º quadrante (180°<x<360°), ou seja, estamos procurando um "x" neste intervalo.

 $\begin{array}{c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&1^oquadrante&2^oquadrante&3^oquadrante&4^oquadrante\\Seno&+&+&-&-\\Cosseno&+&-&-&+\\Tangente&+&-&+&-\end{array}$

Este ângulo, solução para a equação dada, é x=270° ou x=3π/2 radianos.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$