Question

Resolva a equação sen x + cos x = 0 considerando U= R.​

Answer 1

Resposta:

    Conjunto solução:  $S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x=-\,\dfrac{\pi}{4}+k\pi,~~\mathrm{com~}k\in\mathbb{Z}\right\}.$

Explicação passo a passo:

Identidades trigonométricas utilizadas

Para qualquer $x\in\mathbb{R},$ valem as seguintes identidades:

• Relação Trigonométrica Fundamental:

    $\mathrm{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1\qquad\mathrm{(i)}$

• Seno do arco duplo:

    $2\,\mathrm{sen}(x)\cos(x)=\mathrm{sen}(2x)\qquad\mathrm{(ii)}$

Resolvendo a equação trigonométrica

    $\mathrm{sen}(x)+\cos(x)=0\qquad\mathrm{(iii)}$

Apenas porque está igual a zero, podemos obter uma equação equivalente, elevando ambos os membros da equação ao quadrado:

    $\Longleftrightarrow\quad [\mathrm{sen}(x)+\cos(x)]^2=0^2$

Expanda o quadrado da soma no lado esquerdo:

$\Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen}^2(x)+2\,\mathrm{sen}(x)\cos(x)+\cos^2(x)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad [\mathrm{sen}^2(x)+\cos^2(x)]+2\,\mathrm{sen}(x)\cos(x)=0$

Aplicando as identidades (i) e (ii), a equação fica

    $\Longleftrightarrow\quad 1+\mathrm{sen}(2x)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen}(2x)=-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen}(2x)=\mathrm{sen}\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$

Temos acima uma igualdade entre senos.

O seno só é igual a − 1 para o arco $-\dfrac{\pi}{2}$ e todos os seus côngruos. Logo, devemos ter

    $\Longleftrightarrow\quad 2x=-\dfrac{\pi}{2}+(2k)\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2x=-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{(4k)\pi}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2x=\dfrac{-\pi+(4k)\pi}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-\pi+(4k)\pi}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-\pi+(4k)\pi}{4}\\\\ \Longleftrightarrow\quad\boxed{~x=-\,\dfrac{\pi}{4}+k\pi~}$

com k inteiro.

Conjunto solução:   $S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x=-\,\dfrac{\pi}{4}+k\pi,~~\mathrm{com~}k\in\mathbb{Z}\right\}.$

Bons estudos!