Question

Resolva a equação sen x . cos x = 0

Answer 1

Resposta:

Qualquer valor de x que torne a equação verdadeira está mencionado na solução abaixo:

S={x=k.360°±180º,k∈Z} ou S={x∈R, x=k.360°± 90º, k∈Z}

ou, utilizando o símbolo matemático de união:

S={x=k.360°±180º,k∈Z}} U {x∈R, x=k.360°± 90º, k∈Z}

Apenas no 1° ciclo (1ª volta) e incluindo 360º, podemos considerar:

S=[0º, 90º, 180°, 270º, 360º]

Explicação passo-a-passo:

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ATENÇÃO! Como não houve determinação sobre um intervalo para se obter a solução (como, por exemplo, apenas a primeira volta positiva na circunferência), eu estarei obtendo a resposta para qualquer valor real de x.

Também não houve especificação sobre a preferência por graus ou radianos, logo optarei por graus. Para transformar as soluções em radianos basta tratar a relação de 360º=2π rad.

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Para termos sen(x).cos(x)=0 como verdade, um dos valores terá que ser igual a zero para que, multiplicado pelo outro valor, iguale zero.

Desse modo, analisaremos individualmente as opções.

Primeiramente trataremos sen(x)=0.

Observando a circunferência trigonométrica, podemos observar que 0º possuirá sen(0º)=0 e, para cada valor de 180º a mais, ou a menos, obteremos também sen(180º)=sen(360º)=sen(-180º)=0.

Para representar isso em uma solução, será necessário relembrar a fórmula da representação geral dos arcos trigonométricos (a medida, em graus, de dado arco x será: x=k.360°+ α, k∈Z; sendo "α" o ângulo em questão e "k" uma constante.

Observe que nesse caso, tratamos do ângulo α=180º, logo a representação de qualquer arco equivalente a 0º será: x=k.360°±180º,k∈Z.

Obtemos assim a primeira parte de nossa solução.

S={x=k.360°±180º,k∈Z}

Em seguida, trataremos cos(x)=0.

Observando a circunferência trigonométrica, podemos observar que 90° e 270° possuirão cos(90º)=cos(270º)=0.

Novamente, buscaremos obter todos os arcos equivalentes a 90º e 270º pela fórmula dos arcos equivalentes.

Observe: nos ângulos 90º e 270°, é perceptível que, para chegarmos a 90°, basta seguirmos no sentido anti-horário (positivo) por 90º, enquanto para chegar a 270°, bastar seguirmos no sentido horário (negativo) por 90°.

Encontramos um padrão! Seguindo por +90º teremos que cos(x)=0 e seguindo por -90° teremos que cos(x)=0 também!

Assim, é possível representar que seguindo por ± 90º teremos arcos equivalentes.

Dessa maneira, colocaremos o nosso ângulo a ser tratado como ± 90º em nossa fórmula. Assim, x=k.360°± 90º, k∈Z.

Encontramos a segunda e última parte de nossa resposta!

S={x∈R, x=k.360°± 90º, k∈Z}.

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Com ambas as respostas em mãos, basta uni-las em uma só, a resposta para todas as possíveis perguntas que a questão pode nos dar!

S={x=k.360°±180º,k∈Z}} ou S={x∈R, x=k.360°± 90º, k∈Z}

ou, utilizando o símbolo matemático de união:

S={x=k.360°±180º,k∈Z}} U S={x∈R, x=k.360°± 90º, k∈Z}