Question

Resolva a equação:
sen x= cos $\frac{ \pi }{7}$ , x ∈ [-$\pi$,$\pi$]

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica

     sen x = cos(π/7)

no intervalo  [– π, π].

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Usando a identidade de arcos complementares, podemos escrever que

     •   cos(θ) = sen(π/2 – θ),  qualquer que seja  θ ∈ ℝ.


Sendo assim, para  θ = π/7,  temos que

     cos(π/7) = sen(π/2 – π/7)

     cos(π/7) = sen[7π/14 – 2π/14]

     cos(π/7) = sen[(7π – 2π)/14]

     cos(π/7) = sen(5π/14)


de modo que a equação fica

          sen x = sen(5π/14)


Essa é uma equação trigonométrica simples (igualdade de senos). A solução será

     x = 5π/14 + k · 2π     ou     x = π – (5π/14) + k · 2π

     x = 5π/14 + k · 2π     ou     x = (14π/14) – (5π/14) + k · 2π

     x = 5π/14 + k · 2π     ou     x = (14π – 5π)/14 + k · 2π

     x = 5π/14 + k · 2π     ou     x = 9π/14 + k · 2π

sendo  k  inteiro.

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Encontrando os valores de  k  adequados para que as soluções estejam no intervalo  [– π, π]:

     – π ≤ x ≤ π


•  Para  x = 5π/14 + k · 2π,  devemos ter

     – π ≤ 5π/14 + k · 2π ≤ π


Subtraia  5π/14  de todos os membros:

     – π – 5π/14 ≤ k · 2π ≤ π – 5π/14

     – 19π/14 ≤ k · 2π ≤ 9π/14


Dividindo todos os membros por  2π,  que é positivo, o sentido da desigualdade se mantém:

     – 19/28 ≤ k ≤ 9/28


Observando as frações que aparecem na desigualdade, e levando em conta que  k  é inteiro, podemos escrever

          – 1 < – 19/28 ≤ k ≤ 9/28 < 1

          – 1 < k < 1

          k = 0


e para  k = 0,  o valor de  x  é

     x = 5π/14


•  Para  x = 9π/14 + k · 2π,  devemos ter

     – π ≤ 9π/14 + k · 2π ≤ π


Subtraia  9π/14  de todos os membros:

     – π –  9π/14 ≤ k · 2π ≤ π – 9π/14

     – 23π/14 ≤ k · 2π ≤ 5π/14


Dividindo todos os membros por  2π,

     – 23/28 ≤ k ≤ 5/28


Novamente,  temos que

     – 1 < – 23/28 ≤ k ≤ 5/28 < 1

     – 1 < k < 1

     k = 0


e para  k = 0,  o valor de  x  é

     x = 9π/14

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Conjunto solução:   S = {5π/14,  9π/14}.


Bons estudos! :-)