Question

Resolva a equação :
sen(x+π/7) + sen(x/2) = 0 em R

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica nos reais:

    $\mathsf{sen\!\left(x+\dfrac{\pi}{7}\right)+sen\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=0}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sen\!\left(x+\dfrac{\pi}{7}\right)=-\,sen\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}$

O seno é uma função ímpar. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação

    $\mathsf{-\,sen(\theta)=sen(-\theta)}$

para $\mathsf{\theta=\dfrac{x}{2},}$  e a equação fica

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad sen\!\left(x+\dfrac{\pi}{7}\right)=sen\!\left(\!-\,\dfrac{x}{2}\right)\qquad (i)}$

Aqui temos uma igualdade entre senos. Sabemos que os senos de dois arcos são iguais apenas se os arcos forem côngruos ou se a soma dos dois arcos for côngrua a π, afinal arcos suplementares também têm senos iguais, ou seja

    $\mathsf{sen\,\alpha=sen\,\beta}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \alpha=\beta+k\cdot 2\pi\quad ou \quad \alpha+\beta=\pi+k\cdot 2\pi}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \alpha=\beta+k\cdot 2\pi\quad ou \quad \alpha=(\pi-\beta)+k\cdot 2\pi\qquad (ii)}$

sendo k um número inteiro.

Aplicando (ii) à equação (i) para $\mathsf{\alpha=x+\dfrac{\pi}{7}}$  e $\mathsf{\beta=-\,\dfrac{x}{2},}$  obtemos

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad x+\dfrac{\pi}{7}=-\,\dfrac{x}{2}+k\cdot 2\pi\qquad ou \qquad x+\dfrac{\pi}{7}=\left(\pi-\Big(\!\!-\dfrac{x}{2}\Big)\right)+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x+\dfrac{x}{2}=-\,\dfrac{\pi}{7}+k\cdot 2\pi\qquad ou \qquad x+\dfrac{\pi}{7}=\pi+\dfrac{x}{2}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x+\dfrac{x}{2}=-\,\dfrac{\pi}{7}+k\cdot 2\pi\qquad ou \qquad x-\dfrac{x}{2}=\pi-\dfrac{\pi}{7}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{3x}{2}=-\,\dfrac{\pi}{7}+k\cdot 2\pi\qquad ou \qquad \dfrac{x}{2}=\dfrac{6\pi}{7}+k\cdot 2\pi}$

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{21x}{14}=\dfrac{-\,2\pi}{14}+\dfrac{k\cdot 28\pi}{14}\qquad ou \qquad \dfrac{7x}{14}=\dfrac{12\pi}{14}+\dfrac{k\cdot 28\pi}{14}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 21x=-\,2\pi+k\cdot 28\pi\qquad ou \qquad 7x=12\pi+k\cdot 28\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 21x=-\,2\pi\cdot (1-14k)\qquad ou \qquad 7x=4\pi\cdot (3+7k)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=-\,\dfrac{2\pi}{21}\cdot (1-14k)\qquad ou \qquad x=\dfrac{4\pi}{7}\cdot (3+7k)}$

com k inteiro.

Portanto temos uma infinidade de soluções para a equação dada. O conjunto solução é

    $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x=-\,\dfrac{2\pi}{21}\cdot (1-14k)\quad ou \quad x=\dfrac{4\pi}{7}\cdot (3+7k),~~com~k\in\mathbb{Z}\right\}}$

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Bons estudos! :-)