Question

Resolva a equação sen (4x) . cos (4x) = sen (3x) . cos (3x)

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica

sen(4x) · cos(4x) = sen(3x) · cos(3x)

Multiplique os dois lados por 2:

$\mathsf{2\,sen(4x)\cdot cos(4x)=2\,sen(3x)\cdot cos(3x)}$

Vamos aplicar a seguinte identidade trigonométrica a ambos os lados:

• $\mathsf{2\,sen(\alpha)\cdot cos(\alpha)=sen(2\alpha)}$

e a equação fica

$\mathsf{sen(2\cdot 4x)=sen(2\cdot 3x)}\\\\ \mathsf{sen(8x)=sen(6x)}$

Agora temos uma simples igualdade de senos. Dois arcos têm o mesmo seno apenas se eles forem côngruos ou se a soma deles for côngrua a π.

$\begin{array}{rcl} \mathsf{8x=6x+k\cdot 2\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{8x+6x=\pi+k\cdot 2\pi}\\\\ \mathsf{8x-6x=k\cdot 2\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{8x+6x=(1+2k)\cdot \pi}\\\\ \mathsf{2x=k\cdot 2\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{14x=(1+2k)\cdot \pi}\\\\ \mathsf{x=k\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=(1+2k)\,\dfrac{\pi}{14}} \end{array}$

com k inteiro.

Outra forma de resolver a igualdade entre senos é transformando a soma em produto, usando as fórmulas de prostaférese:

•  Diferença entre senos:

$\mathsf{sen(\alpha)-sen(\beta)=2\,sen\bigg(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\bigg)cos\bigg(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\bigg)}$

Então, a equação fica

$\mathsf{sen(8x)=sen(6x)}\\\\ \mathsf{sen(8x)-sen(6x)=0}\\\\\\ \mathsf{2\,sen\bigg(\dfrac{8x-6x}{2}\bigg)\,cos\bigg(\dfrac{8x+6x}{2}\bigg)=0}\\\\\\ \mathsf{2\,sen\bigg(\dfrac{2x}{2}\bigg)\,cos\bigg(\dfrac{14x}{2}\bigg)=0}\\\\\\ \mathsf{2\,sen(x)\,cos(7x)=0}\\\\ \mathsf{sen(x)\,cos(7x)=0}\\\\\\ \begin{array}{rcl}\mathsf{sen(x)=0}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{cos(7x)=0}\\\\ \mathsf{x=k\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{7x=(1+2k)\,\dfrac{\pi}{2}}\\\\ \mathsf{x=k\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=(1+2k)\,\dfrac{\pi}{14}}\end{array}$

com k inteiro.

Conjunto solução:

$\mathsf{S=\Big\{x\in\mathbb{R}:~x=k\pi~~ou~~x=(1+2k)\,\dfrac{\pi}{14},~~com~k\in\mathbb{Z}\Big\}.}$

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Bons estudos! :-)