Question

Resolva a equação:
(n+2)!-(n+1)!/n(n-1)!=25

Answer 1

Olá.

$\frac { (n+2)!-(n+1)! }{ n(n-1)! } =25\\ \\ \frac { (n+2)(n+1)n(n-1)!-(n+1)n(n-1)! }{ n(n-1)! } =25$

O n(n-1)! de baixo corta com os dois n(n-1)! de cima.

$(n+2)(n+1)-(n+1)=25\\ \\ n^{ 2 }+3n+2-n-1=25\\ n^{ 2 }+2n+1=25\\ n^{ 2 }+2n+1-25=0\\ n^{ 2 }+2n-24=0$

Resolvendo por evidência teremos:

$(n+6)(n-4)=0\\ \\ n+6=0\\ n=-6\\ \\ n-4=0\\ n=4$

O -6 não serve, pois se você substituir o -6 no lugar do n encontrará um fatorial negativo, e isso não existe. Então temos como solução apenas:

$S=\{ 4\}$

Answer 2

A solução da equação $\frac{(n+2)!-(n+1)!}{n(n-1)!}=25$ é 4.

A definição de fatorial nos diz que:

• n! = n(n - 1)(n - 2)...3.2.1, sendo n um número natural maior que 2.

Vamos reescrever o numerador (n + 2)! - (n + 1)!.

Veja que podemos escrever essa soma da seguinte forma:

(n + 2)! - (n + 1)! = (n + 2)(n + 1)n(n - 1)! - (n + 1)n(n - 1)!.

Colocando n(n - 1)! em evidência:

(n + 2)! - (n + 1)! = n(n - 1)!((n + 2)(n + 1) - (n + 1)).

No denominador temos n(n - 1)!. Sendo assim, temos que a equação $\frac{(n+2)!-(n+1)!}{n(n-1)!}=25$ se resume a (n + 2)(n + 1) - (n + 1) = 25.

Desenvolvendo essa equação:

n² + n + 2n + 2 - n - 1 = 25

n² + 2n - 24 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = 2² - 4.1.(-24)

Δ = 4 + 96

Δ = 100

$n=\frac{-2+-\sqrt{100}}{2}$

$n=\frac{-2+-10}{2}$

$n'=\frac{-2+10}{2}=4$

$n''=\frac{-2-10}{2}=-6$.

Como n não pode ser negativo, então podemos concluir que a solução da equação é 4.

Para mais informações sobre fatorial: https://brainly.com.br/tarefa/5945956