Question

Resolva a equação: (n+2)!-(n+1)!/n! =25

Answer 1

Sabemos que

 $\mathsf{k!=k\cdot(k-1)!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)!=...=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdot...\cdot1}$

então:

$\bullet\,\,\mathsf{(n+1)!=(n+1)\cdot n!}\\\\\bullet\,\,\mathsf{(n+2)!=(n+2)\cdot(n+1)!=(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!}$
________________________

$\displaystyle\mathsf{\frac{(n+2)!-(n+1)!}{n!}=25}\\\\\\\mathsf{\frac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n!-(n+1)\cdot n!}{n!}=25}$

Colocando $\mathsf{n!\cdot(n+1)}$ em evidência no numerador:

$\displaystyle\mathsf{\dfrac{n!\cdot(n+1)\cdot[(n+2)\cdot1-1]}{n!}=25}\\\\\\\mathsf{\dfrac{n!\cdot(n+1)\cdot(n+2-1)}{n!}=25}\\\\\\\mathsf{\frac{n!\cdot(n+1)\cdot(n+1)}{n!}=25}\\\\\\\mathsf{\frac{n!\cdot(n+1)^{2}}{n!}=25}$

Cancelando $\mathsf{n!}$:

$\mathsf{(n+1)^{2}=25}$

Essa é uma equação do segundo grau, logo poderia ser resolvida por Bhaskara, mas a forma dela nos permite resolvê-la facilmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

$\mathsf{\sqrt{(n+1)^{2}}=\sqrt{25}}\\\\\mathsf{|n+1|=5}$

Onde $\mathsf{|n+1|}$ é o valor absoluto (módulo) de $\mathsf{n+1}$

Mas, como $\mathsf{n\ge0}$, então $\mathsf{n+1\ge1\,\textgreater\,0}$, portanto $\mathsf{|n+1|=n+1}$ (pois $\mathsf{n+1}$ é positivo)

Portanto,

$\mathsf{n+1=5}\\\\\mathsf{n=5-1}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{n=4}}}$