Question

Resolva a equação      (n!)²             4
                               --------------- =   ---- .
                              (n+1)!(n-1)!         5

Answer 1

Essa é uma equação fatorial.

Fatorial é uma técnica matemática de contagem onde fazemos o produto de um numero por todos os números inteiros consecutivos a ele, em ordem decrescente, até chegar ao número 1.

Ex:
5!= 5x4x3x2x1= 120
3!= 3x2x1= 6

Matemática podemos escrever que:
n!= nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x(n-4)...1

Para resolver uma equação fatorial temos que resolver os fatoriais até a equação se tornar uma equação comum de primeiro ou segundo grau:
$\frac{ {(n!)}^{2} }{(n + 1)! \times(n - 1)! } = \frac{4}{5} \\ \frac{ {(n!)} \times(n!)}{(n + 1)! \times(n - 1)! } = \frac{4}{5} \\ \frac{ {(n!)} \times \: n \times (n - 1)!}{(n + 1)! \times(n - 1)! } = \frac{4}{5} \\\frac{ {(n!)} \times \: n}{(n + 1)!} = \frac{4}{5} \\ \frac{ {(n!)} \times \: n}{(n + 1) \times n!} = \frac{4}{5} \\ \frac{n}{n + 1} = \frac{4}{5} \\ 5n = 4n + 4 \\ 5n - 4n = 4 \\ n = 4$
Resposta: n= 4

Answer 2

$\dfrac{(n!)^2}{(n+1)\cdot{(n-1)!}}= \dfrac{4}{5} \\\\\\ \dfrac{n!\cdot{n!}}{(n+1)\cdot{(n-1)!}}= \dfrac{4}{5}\\\\\\ \dfrac{n\cdot(n-1)!\cdot{n!}}{(n+1)\cdot{n!}\cdot(n-1)!}= \dfrac{4}{5}\\\\\\ \dfrac{n}{n+1}= \dfrac{4}{5}\\\\\\5n=4n+4\\n=4$