Question

Resolva a equação:
(n-1)!.(n-2)!/n!(n+1)!=2

Answer 1

Olá!


$\dfrac{(n-1)!(n-2)!}{n!(n+1)!}=2\Leftrightarrow\dfrac{(n-1)!(n-2)!}{n(n-1)(n-2)!(n+1)n(n-1)!}=2\Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{n^2(n-1)(n+1)}=2\Leftrightarrow \dfrac{1}{n^2(n^2-1)}=2\Leftrightarrow\\ \\ \\ \Leftrightarrow 2n^2(n^2-1)=1\Leftrightarrow 2n^4-2n^2-1=0\\ \\ \text{Fa\c ca n^2=x . Segue que}$

$2n^4-2n^2-1=0\Leftrightarrow 2x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\\ \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{-b\pm\;\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2\pm\; \sqrt{4+8}}{4}=\dfrac{2\pm\;\sqrt{12}}{4}\Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow x= \dfrac{2\pm\;2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1\pm\;\sqrt{3}}{2}\\ \\ \text{Como n^2=x , para } x=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\;\;\text{temos:}\\ \\ \\ n^2=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \Rightarrow n=\pm\;\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}\\ \\ \\ \text{E para } x = \dfrac{1-\;\sqrt{3}}{2},\;\;\text{temos:}$


$n^2=\dfrac{1-\;\sqrt{3}}{2}\Rightarrow n=\pm\;\sqrt{\dfrac{1-\;\sqrt{3}}{2}}$


    Portanto, o conjunto S das soluções da equação dada SERIA


$S=\left\{\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}},\;-\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}},\;\sqrt{\dfrac{1-\;\sqrt{3}}{2}},\;-\sqrt{\dfrac{1-\;\sqrt{3}}{2}}\right\}$




Mas n deve ser um número natural, pois estamos lidando com fatorial (até existe uma generalização de fatorial para abranger outros conjuntos, mas não é vista no ensino médio)

Portanto, tal equação NÃO tem solução.




Bons estudos!