Question

Resolva a equação modular |x 2 -8x + 13|= 1
Função modular

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S = \{ 2, \: 4- \sqrt{2}, \: 4+\sqrt{2},\: 6 \} } }$

As equações modulares são equações em que aparecem incógnita dentro do módulo.

Exemplo:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \mid x -3 \mid = 8 \Rightarrow x = 11 }$

O módulo | x | é definido da seguinte maneira:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid x \mid \;= \begin{cases} \sf x, ~ se ~ x\geq 0 \\ \\ \sf -x, ~x ~ < 0 \end{cases} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid x^{2} -8x + 13 \mid = 1 } }$

Aplicando a definição, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid x^{2} - 8x +13 \mid \: = 1 \begin{cases} \sf x^{2} -8x + 13 = 1 \quad \raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf I}} \\ \\ \sf x^{2} -8x+13 = - 1 \quad \raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf II}} \end{cases} } }$

Resolvendo a equação I, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x^{2} -8x +13 = 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x^{2} -8x +13-1=0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x^{2} -8x +12 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{b^{2} -\, 4ac } }{2a} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{-\,(-8) \pm \sqrt{(-8)^{2} -\, 4 \cdot 1 \cdot 12 } }{2 \cdot1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{8 \pm \sqrt{ 64 -\, 48 } }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{8 \pm \sqrt{ 16} }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{8 \pm 4 }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x_1= \dfrac{8+4 }{2} = \dfrac{12}{2} = 6 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x_2 = \dfrac{8-4 }{2} = \dfrac{4}{2} = 2 } }$

Resolvendo a equação I I, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x^{2} -8x +13 = - 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x^{2} -8x +13 + 1 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x^{2} -8x +14 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{-\,(-8) \pm \sqrt{(-8)^{2} -\, 4 \cdot 1 \cdot 14 } }{2 \cdot1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{ 64 -\, 56 } }{2 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{ 8 } }{2 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{ 4 \cdot 2 } }{2 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{ 4} \cdot \sqrt{2} }{2 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{ 8 \pm 2 \cdot \sqrt{2} }{2 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{ \diagup\!\!\!{ 2} \cdot (4 \pm 1 \cdot \sqrt{2} }{\diagup\!\!\!{ 2} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = 4 \pm \sqrt{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x_1 = 4 + \sqrt{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x_1 = 4 - \sqrt{2} } }$

$\Large\boldsymbol{\displaystyle \sf S = \{ 2, \: 4- \sqrt{2}, \: 4+\sqrt{2},\: 6 \} }$

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