Question

Resolva a equação matricial 2X-B+1/3At=0, sendo A=(0 6/-6 0) e B=(0 2/4 6). R: (0 2/1 3)
Não entendi muito bem o exercício, tenho que achar o valor de X? A matriz que está na resposta é o X?

Answer 1

Olá

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Respondendo sua pergunta, Sim, o X é a resposta. A resposta é uma matriz e não um número.

Primeiramente, temos que isolar o X, como se fosse uma equação.

$\displaystyle 2X-B+ \frac{1}{3}A^t =0 \\ \\ 2X= -\frac{1}{3} A^t + B \\ \\ \\ X= \frac{ \frac{-1}{3} }{2} A^t + \frac{1}{2} B \\ \\ \\ \boxed{X=- \frac{1}{6} A^t + \frac{1}{2} B}$

Encontramos o a equação que resultará no X.
Veja, o nosso X será -1/6 da matriz At somado com 1/2 da matriz B

Então temos primeiro que encontrar a matriz At
É bem simples, basta trocar os números que estão em linhas, e coloca-los em colunas, e os que estão em colunas, coloca-los em linha

$\displaystyle A= \left[\begin{array}{ccc}0&6\\-6&0\\\end{array}\right] ~~~~ ~~~~~ \longrightarrow A^t= \left[\begin{array}{ccc}0&-6\\6&0\\\end{array}\right]$

Encontramos a matriz At, só que precisamos da matriz -1/6 de At, então basta multiplicar cada numero da matriz At por -1/6

$\displaystyle A^t= \left[\begin{array}{ccc}0&-6\\6&0\\\end{array}\right] \\ \\ \\ - \frac{1}{6} A^t= \left[\begin{array}{ccc}- \frac{1}{6} \cdot 0&~~~~- \frac{1}{6} \cdot(-6)\\\\- \frac{1}{6} \cdot 6&- \frac{1}{6} \cdot 0\\\end{array}\right] \\ \\ \\\boxed{ - \frac{1}{6} A^t= \left[\begin{array}{ccc}0&1\\-1&0\\\end{array}\right] }$

Pronto, encontramos a matriz -1/6 At

Agora, precisamos encontrar a matriz 1/2 B, para isso, basta multiplicar cada numero da matriz B por 1/2


$\displaystyle B= \left[\begin{array}{ccc}0&2\\4&6\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \frac{1}{2} B= \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}\cdot0~~~~~ &\frac{1}{2}\cdot2\\\\\frac{1}{2}\cdot4~~~~&\frac{1}{2}\cdot6\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \boxed{\frac{1}{2}B= \left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&3\\\end{array}\right] }$


Agora que já temos a matriz -1/6 At e a matriz 1/2 B , agora é só somar as duas, e a resposta será a matriz X.

$\displaystyle X=- \frac{1}{6} A^t + \frac{1}{2} B} \\ \\ \\ X=\left[\begin{array}{ccc}0&1\\-1&0\\\end{array}\right] ~+~\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&3\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \\ X=\left[\begin{array}{ccc}(0+0)~~~&(1+1)\\(-1+2)~~~&(0+3)\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \\ \boxed{\boxed{X=\left[\begin{array}{ccc}0&2\\1&3\\\end{array}\right]}}~~~~~~ ~\longleftarrow \text{Resposta}$