Question

Resolva a equação (logx)2 -3.logx= -2

Answer 1

Vamos lá.

Amanda, como você já explicou o que significa o "2" que está logo após (logx), então vamos tentar resolver a expressão logarítmica (na base 10), pois sempre que a base é omitida subentende-se que ela seja "10. Assim teremos:

i) [log₁₀ (x)]² - 3log₁₀ (x) = - 2

Antes vamos ver quais são as condições de existência da expressão acima. Como só há logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que o logaritmando (x) seja positivo. Assim:

x > 0 ---- Pronto. Esta é a única condição de existência da expressão logarítmica da sua questão.

ii) Agora que já sabemos qual é a sua condição de existência, então vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

[log₁₀ (x)]² - 3log₁₀ (x) = - 2

Veja, Amanda, a exemplo do que já fizemos em uma outra questão sua sobre logaritmos, em que tínhamos algo semelhante ao que temos aí em cima, então vamos fazer log₁₀ (x) = y. Com isso, iremos ficar da seguinte forma:

y² - 3y = - 2 ----- passando "-2" para o 1º membro, teremos:
y² - 3y + 2 = 0 ----- se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

y' = 1
y'' = 2

Mas lembre-se que fizemos log₁₀ (x) = y . Então:

ii.1) Para y = 1, teremos:

log₁₀ (x) = 1 ----- aplicando a definição de logaritmos, teremos:

10¹ = x
10 = x --- ou, invertendo-se:
x = 10 <--- Esta é uma raiz válida, pois atende à condição de existência.

ii.2) Para y = 2, teremos:

log₁₀ (x) = 2 ---- aplicando-se a definição de logaritmo, teremos;

10² = x
100 = x --- ou, invertendo-se:
x = 100 <--- raiz válida também, pois atende à condição de existência.


ii.3) Assim, resumindo, temos que o conjunto-solução para a questão logarítmica da sua questão será:

x = 10, ou x = 100 <--- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução  {x'; x''} do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

S = {10; 100}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.