Resolva a equação logarítmica abaixo, determinando o valor de x:
log 10 (4x – 1) = log 10 (2x – 13)
Soluções para a tarefa
Resposta:
Saudações!
Trata-se de um problema sobre equações logarítmicas. E, para resolvê-lo, teremos de seguir as seguintes instruções:
PRIMEIRO: Determinar o domínio da função.
Em termos gerais, o domínio de uma função qualquer, mas neste caso a logarítmica, significa a determinação os valores para os quais a função faz sentido, ou seja, onde a função é definida. É de suma importância a sua determinação.
Portanto:
x ∈ IR : 4x - 2 > 0 e 2x - 1 > 0
⇔ 4x > 2 e 2x > 1
⇔ x > 1/2 e x > 1/2
x ∈ ]1/2 ; +∞[ , é o domínio da função. Com isso, depreende-se que a nossa solução não deve ser um número inferior a 1/2.
SEGUNDO: Resolver a equação.
log_{10}(4x-2) = log_{10}2 - log_{10}(2x-1)log
10
(4x−2)=log
10
2−log
10
(2x−1)
Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente:
lo_{10}(4x-2) = log_{10} (\frac{2}{2x-1})lo
10
(4x−2)=log
10
(
2x−1
2
)
Igualaremos os logaritmandos, pois as bases dos logaritmos são iguais.
4x-2=\frac{2}{2x-1}4x−2=
2x−1
2
⇒ (4x-2).(2x-1)=2(4x−2).(2x−1)=2
⇒ \begin{gathered}8x^{2} -4x-4x+2=2\\\\8x^{2} -8x+2-2=0\\\\8x^{2} -8x=0\end{gathered}
8x
2
−4x−4x+2=2
8x
2
−8x+2−2=0
8x
2
−8x=0
Pela Lei do Anulamento do Produto, teremos:
8x * (x-1) = 0
⇒ 8x=0 V x-1=0
⇒ x'=0 V x"=1
Temos como "raízes provisórias" 0 e 1. Agora, temos que recorrer ao domínio da função para filtrar a verdadeira raiz ou raízes da equação. Lembre que foi dito que a nossa raiz deve ser um número maior que 1/2, ou seja, não inferior a 1/2.
A primeira raiz, zero, não é maior que 1/2. Mas, 1 é maior que 1/2. Portanto, 1 é a raiz da equação.
Sol: {1}
Espero ter ajudado!