Question

Resolva a equação log7 ( 2×+ 2 ) + log7 ( × - 3 ) = log7 6​

Answer 1

Em relação ao 1° membro da equação, podemo juntar os 2 logaritmos em um só, pela propriedade do produto. Temos então:

log7 [(2x +2)(x-3)] = log7 6

Como os logaritmos dos 2 lados possuem a mesma base (base 7), podemos simplesmente igualar os logaritmandos. Temos:

(2x +2)(x-3) = 6

$2x^{2} -6x +2x - 6 = 6$

$2x^{2} -4x -12 = 0$

Resolvendo a equação por Bháskara:

$x=\frac{-b ±\sqrt{b^{2} - 4ac} }{2a}$

$x=\frac{-(-4) ±\sqrt{(-4)^{2} - 4.2.(-12)} }{2.2}$

$x=\frac{4 ±\sqrt{16 + 96} }{4}$

$x=\frac{4 ±\sqrt{112} }{4}$

$x=\frac{4 ±\sqrt{2^{2} .2^{2} .7} }{4}$

$x=\frac{4 ±4\sqrt{7} }{4}$

$x' = \frac{4 + 4\sqrt{7} }{4} = \frac{4(1+\sqrt{7} )}{4} = 1 +\sqrt{7}$

$x" = \frac{4 - 4\sqrt{7} }{4} = \frac{4(1-\sqrt{7} )}{4} = 1 -\sqrt{7}$

Para sabermos quais fazem realmente parte da solução, devemos substituir no logaritmando e averiguar se o valor será maior que 0.

        x'

$log7 [(2x +2)(x-3)]\\log7 [(2(1 +\sqrt{7}) +2)(1 +\sqrt{7} -3)]\\log7 [(2 + 2\sqrt{7} +2)( \sqrt{7} -2)]\\log7 [(4 + 2\sqrt{7})( \sqrt{7} -2)]\\log7 [4\sqrt{7} - 8 +14 - 4\sqrt{7}]\\log7 [6]$

      x"

$log7 [(2x +2)(x-3)]\\log7 [(2(1 -\sqrt{7}) +2)(1 -\sqrt{7} -3)]\\log7 [(2 - 2\sqrt{7} +2)( -\sqrt{7} -2)]\\log7 [(4 - 2\sqrt{7})(-\sqrt{7} -2)]\\log7 [-4\sqrt{7} - 8 +14 +4\sqrt{7}]\\log7 [6]$

Ambas as soluções satisfazem a definição do logaritmo, ou seja, a solução será:

S{1 + √7, 1 - √7}