Question

Resolva a equação: log3 (2x+5)= log9 (4x+1) elevado a 2. Por favor expliquem a mudança de base. Obrigada

Answer 1

Entendemos que a base do primeiro log é 3 e a base do segundo é 9.
Transformando na base 3 para ficar na mesma base:
log₃ (2x + 5) = log₃ (2x+5)/log₃3
log

log₃(4x+1)²/log₃9
-------------------------------------------------------------------------------------------------
log₃(2x+5)    log₃(4x+1)²
------------- = ----------------
  log₃3          log₃9

log₃(2x+5)     log₃(4x+1)²
-------------- = ------------------
       1                    2
Multiplicando cruzado:
2. log₃(2x+5) = log₃(4x+1)²

(2x+5)² = (4x+1)²
4x² + 20x + 25 = 16x² + 8x + 1
4x² - 16x² + 20x - 8x + 25 - 1 = 0
-12x² + 12x + 24 = 0 (simplifica por 12)
-x² + x + 2 = 0 (-1)
x² - x - 2 = 0
Δ = (-1)² - 4.1 (-2)
Δ = 1 + 8
Δ = 9
        - (-1) + √9               1 + 3              4
x' = -----------------∴ x' = -----------∴ x' = ----- = 2
             2.1                        2                 2

         1 - 3                     -2
x'' = ------------∴ x'' = ------------∴x'' = -1 
             2                       2
----------------------------------------------------------------------------------

Verificando para o 2:

log₃(2.2 + 5) = log₉ (4.2 +1)²

log₃9 = log₉9²
log₃9 = log₉81
      2 = 2
-------------------------------------------------------------------------------------------
Verificando para o -1:
log₃ (2.-1+ 5) = log₉[(4(-1) + 1]²
log₃3 = log₉(-4+1)²
log₃3 = log₉ (-3)²
log₃3 = log₉9
      1= 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Solução da equação:
{-1,2}

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Mifreitas, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte expressão logarítmica, inclusive explicando como faríamos para mudar a base "9" para a base "3".
A expressão é esta:

log₃ (2x+5) = log₉ (4x+1)²

Antes de continuar o desenvolvimento da expressão acima, vamos logo transformar o 2º membro (o que tem a base "9") para a base "3". Para isso, basta que façamos o seguinte:

log₉ (4x+1)² = log₃ (4x+1) / log₃ (9) ---- como log₃ (9) = 2, pois 3² = 9, então ficaremos assim:

log₃ (4x+1)² = log₃ (4x+1)² / 2 --- agora vamos para a nossa expressão (a partir de onde ficamos) e vamos substituir o log₉ (4x+1)² pelo resultado que acabamos de encontrar. Assim teremos. Vamos apenas repetir a expressão de onde ficamos, que foi esta:

log₃ (2x+5) = log₉ (4x+1)² ---- substituindo-se log₉ (4x+1)² por log₃ (4x+1)² / 2, ficaremos com:

log₃ (2x+5) = log₃ (4x+1)² / 2 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*log₃ (2x+5) = log₃ (4x+1)² --- note que o "2" que está na expressão logarítmica do 1º membro sobe como expoente do logaritmando (2x+5), ficando assim:

log₃ (2x+5)² = log₃ (4x+1)² ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos. Assim, ficaremos assim:

(2x+5)² = (4x+1)² ----- desenvolvendo estes quadrados, ficaremos com:

4x²+20x+25 = 16x²+8x+1 --- passando todo o 1º membro para o 2º, ficaremos com:

0 = 16x² + 8x + 1 - 4x² - 20x - 25 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:

0 = 12x² - 12x - 24 ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
12x² - 12x - 24 = 0 --- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "12", com o que iremos ficar apenas com:

x² - x - 2 = 0 ---- Agora note: se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

x' = -1
x'' = 2

E note que as duas raízes satisfazem à expressão original, pois o segundo logaritmando está ao quadrado, o que neutraliza o número negativo que resultar da aplicação de x = -1.

Assim, a resposta será:

x = -1, ou x = 2 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {-1; 2}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.