Question

Resolva a equação: log2x + log2x^2 + log2x^3 + .... + log2x^100 = 15.150.

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\log_{2}x + \log_{2}x {}^{2} + \log_{2}x {}^{3} + \cdots + \log_{2}x {}^{100} = 15150$

Podemos dizer que isso é uma P.A, pois possui a mesma razão de um termo para outro dessa sequência. Para provar isso, basta fazermos o cálculo da razão, que é dado pela subtração do termo pelo seu antecessor imediato, então:

$r = \log_{2}x {}^{2} - \log_{2}x$

Pela propriedade da subtração de log, temos:

$r = \log_{2} \left( \frac{x {}^{2} }{x} \right) \: \to \: r = \log_{2}x$

Portanto sabemos da razão. Para descobrirmos o valor de "x", vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma P.A, dada por:

$S_n =\frac{( a_1 + a_n).n}{2}$

Sabemos que Sn é igual a 15150, n é a quantidade de termos. Se olharmos pra sequência, podemos ver que começa com a potência 1 e termina em 100, ou seja, possui 100 termos. O que falta agora é o An, onde devemos calcular o termo A100, utilizando o termo geral:

$A_n = a_1 + (n-1).r \\ A_{100} = \log_{2}x + (100-1).( \log_{2}x) \\ A_{100} = \log_{2}x + 99 \log_{2}x \\ A_{100} = 100 \log_{2}x$

Agora podemos substituir todos os dados na relação da soma da PA:

$15150 = \frac{100.( \log_{2}x + 100. \log_{2}x)}{2} \\ \\ 2.(15150) =100.( 101 \log_{2}x) \\ \\ 303 = 101 \log_{2}x \\ \\ \log_{2}x = \frac{303}{101} \\ \\ \log_{2}x = 3$

Agora é só aplicar a definição de logarítmo:

$2 {}^{3} = x \: \to \: \boxed{ x = 8}$

Espero ter ajudado