Question

resolva a equação irracional 2.√ x+3= x-1
me ajudem please

Answer 1

Olá

$2\sqrt{x+3} = x-1$

Esta é uma equação irracional, eleve ambos os termos ao índice

$(2\sqrt{x+3})^{2} =(x-1)^{2}$

Potencialize os termos

$4\cdot(x+3) = x^{2}-2x + 1$

Simplifique os valores

$4x + 12 = x^{2} -2x+1$

Mude a posição dos termos, alterando seus sinais e igualando a equação a zero

$4x+12-x^{2} +2x-1=0$

Reorganize os termos

$-x^{2}+4x+2x+12-1=0$

Multiplique os termos por um fator (-1)

$x^{2} -4x-2x-12+1=0$

Reduza os termos semelhantes

$x^{2} -6x -11=0$

Use a fórmula de bháskara

$\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}$

Substitua os valores

$x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot1\cdot(-11)}}{2\cdot(1)}$

Simplifique a fração

$x=\dfrac{6\pm\sqrt{80}}{2}}$

$x=\dfrac{6\pm4\sqrt{5}}{2}$

Retire as raízes

$x'=\dfrac{6+4\sqrt{5}}{2}~~\ \textgreater \ \ \textgreater \ ~~\boxed{3+2\sqrt{5}}\\\\\\x" = \dfrac{6-4\sqrt{5}}{2}~~\ \textgreater \ \ \textgreater \ ~~\boxed{3-2\sqrt{5}}$

Substitua os valores, para comprovar a raíz verdadeira

$2\sqrt{(3+2\sqrt{5})+3} = 3+2\sqrt{5}-1$

Simplifique os valores

$2\sqrt{6+2\sqrt{5}} = 2+2\sqrt{5}\\\\\\2\sqrt{(1+\sqrt{5})^{2}} = 2+2\sqrt{5}\\\\\\2(1+\sqrt{5})=2+2\sqrt{5}\\\\\\\boxed{2+2\sqrt{5}=2+2\sqrt{5}}~~\checkmark$

$2\sqrt{3-2\sqrt{5}+3} = 3-2\sqrt{5}-1\\\\\\2\sqrt{6-2\sqrt{5}}=2-2\sqrt{5}\\\\\\2\sqrt{(1-\sqrt{5})^{2}} = 2-2\sqrt{5}\\\\\\2\cdot(1-\sqrt{5})=2-2\sqrt{5}\\\\\\\boxed{2-2\sqrt{5}=2-2\sqrt{5}}~~\checkmark$

Logo, ambas as raízes são corretas

$[S\in\mathbb{R}~|~S=\{3+2\sqrt{5},~3-2\sqrt{5}\}]$