Question

Resolva a equação impropria:​

Answer 1

Temos a seguinte integral imprópria:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int \limits_{0}^{ \infty } \frac{dx}{x {}^{2} + 1 }$

Como nós sabemos, quando o limite superior é infinito, devemos fazer a seguinte modificação:

$\: \: \: \: \int \limits_{a}^{ \infty }f(x) dx = \lim_{b \to \: \infty } \int \limits_{a}^{ b}f(x) dx$

Fazendo isso na nossa integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{b \to \: \infty } \int\limits_{0}^{ b } \frac{dx}{x {}^{2} + 1 }$

Agora devemos calcular essa integral. Para isso usarei o método da substituição trigonométrica quando temos o caso $\sqrt{x^2+a^2}$. Quando temos isso, a saída é pela tangente:

$\tan( \theta) = \frac{x}{1} \: \to \: x = \tan( \theta)$

Derivando x em relação ao ângulo:

$\frac{dx}{d \theta} = \sec {}^{2}( \theta) \: \to \: dx = \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta$

Substituindo essas informações na integral:

$\int \frac{dx}{x {}^{2} + 1} \: \to \: \int \frac{ \sec {}^{2}( \theta) \: d \theta }{( \tan {}^{} (\theta) {})^{2} + 1} \\ \\ \int \frac{ \sec {}^{2}( \theta) \: d \theta }{ \tan {}^{2} ( \theta) + 1}$

Pelas relações trigonométricas, sabemos que:

$\tan {}^{2} ( \theta) + 1 = \sec {}^{2} ( \theta)$

Substituindo essa informação:

$\int \frac{ \cancel{\sec {}^{2} ( \theta) }\: d \theta}{ \cancel{\sec {}^{2} ( \theta)}} \: \to \: \int \: d \theta \: \to \: \theta + c$

Portanto essa é a resolução. Mas antes ainda temos que encontrar a função correspondente ao ângulo teta, pois fomos nós que criamos ele:

$x = \tan( \theta) \to \: \theta = \arctan(x)$

Essa é de fato a resolução. Agora vamos calcular o limite e também substituir os limites de integração:

$\: \: \: \lim_{b \to \infty}( \arctan(x)) \bigg |_{0}^{ b} \\ \\ \lim_{b \to \infty} \arctan(b) - \arctan(0) \\ \\ \lim_{b \to \infty} \arctan( b) - 0$

Substituindo o valor a qual o "b" tende:

$\lim_{b \to \infty} \arctan(b) \: \to \: \lim_{b \to \infty} \arctan( \infty)$

Aqui devemos saber o comportamento da função quando ela vai pra infinito, se plotarmos o gráfico (está anexado), podemos ver que quando b vai para infinito, ele tende a π/2, ou seja:

$\boxed{\lim_{b \to \infty} \arctan( \infty ) = \frac{\pi}{2} }$

Portanto, temos que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\int\limits_{0}^{ \infty } \frac{dx}{x {}^{2} + 1} = \frac{\pi}{2} }$

Podemos dizer que a integral converge.

Também temos outra integral, dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int\limits_{ - 1}^{ 1} \frac{dx}{x {}^{ \frac{2}{3} } }$

Essa integral não possui uma indeterminação quando os limites são substituídos, então podemos resolver normalmente:

$\int \frac{dx}{x {}^{ \frac{2}{3} } } \: \to \: \int x {}^{ - \frac{2}{ 3} } dx \: \to \: \frac{x {}^{ - \frac{2}{3} + 1 } }{ - \frac{2}{3} + 1} + k\\ \\ \frac{x {}^{ \frac{1}{3} } }{ \frac{1}{3} } + k \: \to \: 3x {}^{ \frac{1}{3} } + k$

Substituindo os limites de integração:

${3.(1) {}^{ \frac{1}{3} } } - {3( - 1) {}^{ \frac{1}{3} } } \: \to \: {3} - ( - 1). {3} \\ \\ 3 + 3 = \boxed{6}$

Portanto a integral é igual a:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \int\limits_{ - 1}^{ 1 } \frac{dx}{x {}^{ \frac{2}{3} } } = 6}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo

1)$Vamos~utilizar~de~um~tri\hat angulo~ret\hat angulo~~para~fazermos~uma~mudanc_{\!\!,}a~de~vari\'avel.\\\\Veja~na~imagem.$$tg\theta=\frac{x}{1}\implies tg\theta =x~diferenciando~sec^2\thetad\thetad\theta d\theta =dx\\\\x\rightarrow0\implies\theta\rightarrow0~quando~x\rightarrow\infty\implies\theta \rightarrow\frac{\pi }{2}\\\\\int\limits^\infty_0 {\frac{dx}{x^2+1} } \,=\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {\frac{\diagup\!\!\!\!\!\!sec^2\frac{\pi }{2} }{\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!sec^2} } \, d\theta =\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {} \, d\theta=\theta]\left \ {{\frac{\pi }{2} } \atop {0}} \right. =\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$

$2)\int\limits^1_{-1} {\frac{dx}{x^\frac{2}{3} } } \,=\int\limits^1_{-1} {x^_{-}\frac{2}{3} } \, dx=\int\limits^1_{-1} {\frac{x^\frac{-2}{3}^+^1 }{\frac{-2}{3} +1 } } \, dx =\int\limits^1_{-1} \frac{x^\frac{1}{3} }{\frac{1}{3} } dx=3\sqrt[3]{x} =3(\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{-1})=\\\\3(1+1)=6$