Question

Resolva a equação homogênea y’= (y-x)/x

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Equações Diferenciais Ordinárias, concluímos que a solução geral da EDO é  y = x(c - lnx)

Equações Homogêneas

☛     Considere uma equação da forma  $\dfrac{dy}{dx}=f(y/x)$

1.   Fazendo  $v=y/x$  ou  $y=vx$ , temos  $\dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx}$  e  a EDO torna-se

$v+x\dfrac{dv}{dx}=f(v)$

2.   Separando as variáveis e integrando, a solução é:

$\displaystyle \int \frac{1}{f( v) -v} dv=\int \frac{1}{x} dx+c$

3.  Trocamos  $v$  por  $y/x$ .

♦︎     Na sua questão, a equação diferencial dada pode ser escrita como

$\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{( y-x)}{x}$

➜     Usando as substituições  $v=\dfrac{y}{x}$  ou  $y=vx$, e  $\dfrac{dy}{dx} =v+x\dfrac{dv}{dx}$ , temos

$\begin{array}{l}v+x\dfrac{dv}{dx} =\dfrac{( vx-x)}{x}\\\\v+x\dfrac{dv}{dx} =\dfrac{x( v-1)}{x}\\\\v+x\dfrac{dv}{x} =v-1\\\\\Longrightarrow \dfrac{dv}{dx} =-\dfrac{1}{x}\end{array}$

➜     Separando as variáveis e integrando,

$\begin{array}{l}\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \int dv=-\int \frac{1}{x} dx+c\\\\\lor \ \ \ \ \ v=-\ln x+c\end{array}$

➜     Devolvendo a substituição:

$\begin{array}{l}\ \ \ \ \ \ \ \dfrac{y}{x} =-\ln x+c\\\\\lor \ \ \ \ \ \boxed{y=x( c-\ln x)}\end{array}$

∴     A solução geral da EDO é  y = x(c - lnx)   ✍️

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