Question

Resolva a equação exponencial
$\frac{3^{x} + 3^{-x}}{3^{x} - 3^{-x}} =2$

Answer 1

Resposta:

$\sf \displaystyle \dfrac{3^x +3^{-x}}{3^x - 3^{-x}} = 2$

Resolução:

$\sf \displaystyle \dfrac{3^x +3^{-x}}{3^x - 3^{-x}} = 2$

$\sf \displaystyle \dfrac{3^x +(3^x)^{- 1}}{{3^x - (3^x)^{- 1}}} = 2}$

fazendo $\sf \textstyle 3^x = y$ temos :

$\sf \displaystyle \dfrac{y +y^{- 1}}{{ y - y^{- 1}}} = \dfrac{2}{1} }$

$\sf \displaystyle 2 \cdot \left (y - y^{-1} \right ) = 1 \cdot \left (y + y^{-1}\right)$

$\sf \displaystyle 2y -2y^{-1} =y +y^{-1}$

$\sf \displaystyle 2y - 2 \cdot \dfrac{1}{y} = y + \dfrac{1}{y}$

$\sf \displaystyle \dfrac{2y^{2} }{y} - \dfrac{2}{y} = \dfrac{y^{2} }{y} + \dfrac{1}{y}$

$\sf \displaystyle 2y^2 - 2 = y^2 + 1$

$\sf \displaystyle 2y^2 - y^2 - 2 - 1 = 0$

$\sf \displaystyle y^{2} - 3 = 0$

$\sf \displaystyle y^2 = 3$

$\sf \displaystyle y = \pm\; \sqrt{3}$

Voltando condição:

$\sf \displaystyle 3^x = y$

$\sf \displaystyle 3^x = \sqrt{ 3}$

$\sf \displaystyle 3^x = 3^{\frac{1}{2}} \quad \gets \text{ \sf Cancelar a base 3.}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle x = \dfrac{1}{2} }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

$\sf \displaystyle 3^x = -\:\sqrt{3}$

Sem solução para $\sf \textstyle x \in \mathbb{R}$.

O valor negativo não serve.

Explicação passo-a-passo: