Resolva a equação e 2+9+16...+×=212,sabendo que os termos do 1° membro estão em P.A
Soluções para a tarefa
Resposta: x = 51 => S = {51}
Explicação passo-a-passo:
Sabemos que do lado esquerdo da igualdade (primeiro membro da equação) temos uma soma de P.A. Com isso (primeira resolução), basta utilizar a fórmula da soma dos termos de uma Progressão Aritmética e escrever a quantidade de termos (inicialmente incógnita), em função do último termo “x”. Assim sendo, obteremos o seguinte desenvolvimento:
x = a(n) = a(1) + (n - 1)7 =>
x = 2 + 7n - 7 =>
x = 7n - 5 =>
(x + 5)/7 = n
e
S(n) = n[a(1) + a(n)]/2 =>
212 = (x + 5)/14(x + 2) =>
212 = (x + 5)(x + 2)/14 =>
212. 14 = (x + 5)(x + 2) =>
x² + 2x + 5x + 10 = 2968 =>
x² + 7x + 10 - 2968 = 0 =>
x² + 7x - 2958 = 0 * =>
x² - 51x + 58x - 2958 = 0 =>
x(x - 51) + 58(x - 51) = 0 =>
(x - 51)(x + 58) = 0 e x > 0 =>
x = 51 => S = {51}
Ou ainda (segunda resolução):
x = 7n - 5 =>
212 = n[(7n - 5) + 2]/2 =>
424 = n(7n - 3) =>
7n² - 3n = 424 =>
7n² - 3n - 424 = 0 * =>
7n² - 56n + 53n - 424 = 0 =>
7n(n - 8) + 53(n - 8) = 0 =>
(7n + 53)(n - 8) = 0 e n > 0 =>
n = 8 =>
x = a(8) = 2 + (8 - 1).7 =>
x = 2 + 7.7 =>
x = 2 + 49 =>
x = 51 => S = {51}
* É perceptível que todas as equações quadráticas (equações do segundo grau) acima poderiam ser facilmente solucionadas com o auxílio da fórmula de Bháskara.
Abraços!