Question

Resolva a equação diferencial y'(x) = xy por separação de variáveis. \(y = e^{x^3\over3}C\) \(y = e^x.C\) \(y = e^{x^3\over3}\) \(y = e^{x^2\over2}C\) \(y = 3e^{x^2\over2}C\)

Answer 1

A notação y' pode ser escrita como: $y'=\frac{dy}{dx}$.

Então, em y' = xy temos que:

$\frac{dy}{dx}=xy$.

Separando o x do y:

$\frac{dy}{y}=xdx$

Para resolver a equação diferencial separável acima, precisamos integrar ambos os lados da equação:

$\int\frac{dy}{y} = \int\ xdx$

Logo,

$ln(y)=\frac{x^2}{2}+c$

Para isolar o y temos que nos lembrar da seguinte propriedade de logaritmo:

$e^{ln(x)}=x$

Assim,

$y=e^{\frac{x^2}{2}+c}$

$y = e^{\frac{x^2}{2}}.c_1$ → essa é a solução geral da equação y' = xy.