Question

Resolva a equação diferencial y" + 4y = 0, utilizando a transformada de laplace. Considere que y(0) = 2 e y'(0) = 2. Assinale a alternativa que contenha a correta solução.
Para a solução dessa questão você precisa das seguintes equações:

Alternativas

Alternativa 1:

y(x) = ex + 2e2x

Alternativa 2:

y(x) = ex + sen 2x

Alternativa 3:

y(x) = sen 2x + 2 cos 2x

Alternativa 4:

y(x) = 2 cos 2x + 2ex

Alternativa 5:

y(x) = sen x + cos x + e2x

Answer 1

A solução da equação diferencial é y(x) = 2.cos(2x) + sen(2x).

Da propriedade linear da transformada de Laplace, temos:

L{y'' + 4y = 0}

L{y''} + 4.L{y} = L{0}

s².Y(s) - s.y(0) - y'(0) + 4.Y(s) = 0

Substituindo y(0) e y'(0), tem-se:

s².Y(s) - 2s - 2 + 4.Y(s) = 0

Y(s)(s² + 4) - 2s - 2 = 0

Y(s) = (2s + 2)/(s²+4)

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa, temos:

Y(s) = 2s/(s²+4) + 2/(s²+4)

L⁻¹{Y(s)} = L⁻¹{2s/(s²+2²)} + L⁻¹{2/(s²+2²)}

y(x) = 2.cos(2x) + sen(2x)

Resposta: C