Question

Resolva a equação diferencial y ′′ + 4 y ′ + 13 y = 0 .

a e − 2 x c o s ( 3 x ) + b e − 2 x s e n ( 3 x ) , a e b reais.
a e − 2 x + b x e − 2 x , a e b reais.
a c o s ( 2 x ) + b s e n ( 2 x ) , a e b reais.
a e − 3 x + b e − 2 x , a e b reais.
a c o s ( 3 x ) + b s e n ( 3 x ) , a e b reais.

Answer 1

Resposta: A) ae⁻²ˣcos(3x) + be⁻²ˣsen(3x), a e b reais.

 

Vamos lá. A equação diferencial dada é:

 

$\sf y''+4y'+13y=0$

 

Por ser uma equação homogênea, vamos resolvê-la encontrando sua equação característica. Para isso, suponhamos que $\sf y=e^{\lambda x}$; desse modo:

 

$\begin{array}{l}\sf((e^{\lambda x})')'+4(e^{\lambda x})'+13(e^{\lambda x})=0\\\\\sf((e^{\lambda x})\cdot(\lambda x)')'+4(e^{\lambda x})\cdot(\lambda x)'+13e^{\lambda x}=0\\\\\sf(\lambda e^{\lambda x})'+4\lambda e^{\lambda x}+13\,e^{\lambda x}=0\\\\\sf\lambda(e^{\lambda x})\cdot(\lambda x)'+4\lambda e^{\lambda x}+13\,e^{\lambda x}=0\\\\\sf\lambda^2e^{\lambda x}+4\lambda e^{\lambda x}+13\,e^{\lambda x}=0\\\\\sf(\lambda^2+4\lambda +13)e^{\lambda x}=0\\\\\sf\lambda^2+4\lambda +13=0\end{array}$

 

Agora vamos resolver essa equação. Por Bhaskara:

 

$\begin{array}{l}\sf\lambda=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow\lambda=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{4^2-4(1)(13)}}{2(1)}\\\\\sf\lambda=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{16-52}}{2}\Rightarrow\lambda=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{-36}}{2}~;~i=\sqrt{-1}\\\\\sf\lambda=\dfrac{-\,4\pm6i}{2}\Rightarrow\lambda=-\,2\pm3i\end{array}$

 

Como essa equação resultou em duas raízes complexas, a solução geral para a nossa edo é definida por:

• $\sf y(x)=e^{ax}[c_1\,cos(bx)+c_2\,sen(bx)]$

Na qual, a e b são, respectivamente, a parte real e imaginária das raízes complexas $\sf\lambda=a\pm bi$.

 

Desse modo, conclui-se que:

 

$\sf y(x)=e^{-2x}[c_1\,cos(3x)+c_2\,sen(3x)]$

$\red{\boldsymbol{\sf \sf y(x)=c_1e^{-2x}\,cos(3x)+c_2e^{-2x}\,sen(3x)~;~c_1,c_2\in\mathbb{R}\sf~\to~sol.~geral}}$

 

Obs.: a diferença entre o meu resultado para com os das alternativas é que eu usei a notação ''c₁'' e ''c₂'' para as constantes arbitrárias, já a tua questão usou ''a'' e ''b'' para as mesmas. Sendo assim, conforme as opções dispostas:

 

$\red{\boldsymbol{\sf y(x)=a\,e^{-2x}\,cos(3x)+b\,e^{-2x}\,sen(3x)~;~a,b\in\mathbb{R}\sf~\to~letra~A}}$