Question

Resolva a equação diferencial separavel y^2dx-(1-x)dy=0

Answer 1

Resposta:   $x=1$   ou   $y=0$   ou   $y=\dfrac{1}{ \ln|1-x|+C}$

com $C$ constante real.

Explicação passo a passo:

Resolver a equação diferencial separável

    $y^2\,dx-(1-x)\,dy=0\\\\\Longleftrightarrow\quad y^2\,dx=(1-x)\,dy$

$x=1$ e $y=0$ são soluções triviais para a EDO. Vamos, encontrar as outras soluções.

Para $x\ne 1$ e $y\ne 0$ a equação se torna

    $\Longrightarrow\quad \dfrac{dx}{1-x}=\dfrac{dy}{y^2}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \dfrac{dx}{1-x}=y^{-2}\,dy$

Integrando ambos os lados,

    $\displaystyle\Longrightarrow\quad \int\frac{dx}{1-x}=\int y^{-2}\,dy\\\\\\ \Longrightarrow\quad -\ln|1-x|=\dfrac{y^{-2+1}}{-2+1}+C\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad -\ln|1-x|=\dfrac{y^{-1}}{-1}+C\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad -\ln|1-x|=-\,\dfrac{1}{y}+C$

    $\Longleftrightarrow\quad \ln|1-x|=\dfrac{1}{y}-C\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \ln|1-x|+C=\dfrac{1}{y}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{1}{ \ln|1-x|+C}\qquad\checkmark$

com $C$ constante real.

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Bons estudos!