Question

Resolva a equação diferencial f'(x ) = 12 x²- 6 x +1 sujeita à condição inicial f(1)=5. Depois disso, calcule a imagem da função obtida para x=7 e coloque o resultado abaixo: GENTE POR FAVOR, DISSO DEPENDE UMA VIDA, ME AJUDE QUEM PUDER !!!!

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{f(x)=4x^3-3x^2+x+3~|~f(7)=1235}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos a seguinte equação diferencial, devemos relembrar algumas técnicas de integração.

Seja a equação diferencial $f'(x)=12x^2-6x+1$ sujeita à condição inicial $f(-1)=5$, devemos encontrar a solução geral e a imagem da função obtida para $x=7$.

Reescrevendo $f'(x)=\dfrac{dy}{dx}$, teremos

$\dfrac{dy}{dx}=12x^2-6x+1$

Multiplique ambos os lados pelo diferencial $dx$

$dy=12x^2-6x+1\,dx$

Integrando ambos os lados, temos

$\displaystyle{\int\,dy=\int 12x^2-6x+1\,dx}$

Lembre-se que:

• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, ou seja: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx =\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto entre a constante e a integral da função: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx =a\cdot \int f(x)\,dx$.

Sabendo que $x^0=1$, aplicamos a regra da potência na primeira integral

$\displaystyle{\dfrac{y^{0+1}}{0+1}=\int 12x^2-6x+1\,dx}$

Some os valores e calcule a fração

$\displaystyle{y=\int 12x^2-6x+1\,dx}$

Aplicando a regra da soma, temos

$\displaystyle{y=\int 12x^2\,dx -\int6x\,dx+\int1\,dx}$

Aplicando a regra da constante e da potência, temos

$\displaystyle{y=12\cdot\int x^2\,dx -6\cdot \int x\,dx+\int1\,dx}\\\\\\\ \displaystyle{y=12\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1} -6\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}+\dfrac{x^{0+1}}{0+1}$

Some s valores e adicione a constante de integração (pois de trata de uma integral indefinida)

$\displaystyle{y=12\cdot\dfrac{x^3}{3} -6\cdot \dfrac{x^2}{2}+x+C$

Multiplique as frações

$\displaystyle{y=4x^3 -3x^2+x+C$

Sabendo que $y=f(x)$ é a solução geral desta equação, utilize o valor inicial $f(1)=5$ para encontrar o valor da constante:

$5=4\cdot1^3-3\cdot 1^2+1+C$

Calcule as potências

$5=4\cdot1-3\cdot 1+1+C$

Multiplique os valores

$5=4-3+1+C$

Some os valores

$5=C+2$

Subtraia 2 em ambos os lados da equação, a fim de isolar $C$

$C=5-2\\\\\\ C=3$

Substituindo o valor da constante na solução geral, temos

$f(x)=4x^3-3x^2+x+3~~\checkmark$

Então, devemos encontrar o valor da imagem da função para $x=7$. Substituindo, temos:

$f(7)=4\cdot 7^3-3\cdot 7^2+7+3$

Calcule as potências

$f(7)=4\cdot 343-3\cdot 49+7+3$

Multiplique e some os valores

$f(7)=1372-147+10\\\\\\ f(7)=1235$

Este é o valor da função quando $x=7$.