Question

Resolva a equação diferencial dy/dx = ysec² x pelo método de variáveis separáveis.

Answer 1

Olá!

Temos:
dy/dx = ysec²x -> Multiplicando ambos os lados da equação por dx, vem:
dx.dy/dx = y.sec²xdx -> Logo:
dy = y.sec²xdx -> Dividindo os dois lados por y, temos:
dy/y = ysec²xdx/y -> Daí:
dy/y = sec²xdx -> Separadas as variáveis, apliquemos a integral dos dois lados:
∫dy/y = ∫sec²xdx -> Vamos resolver as duas integrais e tentar isolar o y. Temos:
∫1/y . dy = ∫sec²xdx -> Agora, sabemos que uma função cuja a derivada dê 1/y = lny e a função cuja derivada resulta em sec²x é a tgx. Logo:
lny+k₁ = tgx+k₂ => lny = tgx+k₂-k₁ => lny = tgx+k -> Fazendo lny = log(e)y, vem:
log(e)y = tgx+k -> Usando a definição de logaritmo:
e^tgx+k = y => e^tgx . e^k = y -> Fazendo e^k = k, teremos:
y = k.e^tgx

Espero ter ajudado! :)

Answer 2

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$\sf \dfrac{dy}{dx}=ysec^2(x)\\\sf\dfrac{dy}{y}=sec^2(x)~dx\\\displaystyle\sf \int\dfrac{dy}{y}=\int sec^2(x)~dx\\\sf \ell n|y|=tg(x)+C\\\sf e^{\ell n|y|}=e^{tg(x)+C}\\\sf |y|=e^{tg(x)}\cdot e^C\\\Huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf y=k\cdot e^{tg(x)}}}}}$