Question

Resolva a equação diferencial 2y’’ − 5y’ − 3y = 0.

Answer 1

Resposta:

$y = c_{1}e^{3t/2} + c_{2}e^{t}$

Explicação passo a passo:

Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, com coeficientes constantes a= 2, b = -5 e c = -3.

Desta maneira, a solução será da forma $y = e^{ k. t}$,  onde k é uma constante

Reescrevendo a equação com $y = e^{ k. t}$ , temos

2y’’ − 5y’ − 3y = 0

2($e^{kt}$)'' - 5($e^{kt}$)' - 3$e^{kt}$ = 0

2k²$e^{kt}$ - 5k$e^{kt}$ - 3$e^{kt}$ = 0

$e^{kt}$ (2k² - 5k - 3) = 0

2k² - 5k - 3 = 0 , por Bhaskara, temos

5 ± √(25 -24) / 4

(5 ± 1 )/ 4

k = 3/2 ou k = 1

Como as duas raízes são reais e distintas, a solução assume a forma

$y = c_{1}e^{3t/2} + c_{2}e^{t}$