Question

Resolva a equação diferencial (1+ x2)dy - xydx = 0 por separação de variáveis.




a) y(x) = (1 - x2)1/2.K


b) y(x) = (1 + x2)1/3.K




c) y(x) = (1 - x)1/2.K




d) y(x) = (1 + x)2.K




e) y(x) = (1 + x2)1/2.K

Answer 1

Sendo (1 + x²)dy - xydx = 0 uma equação diferencial separável, então temos que:

(1 + x²)dy = xydx

$\frac{dy}{y}=\frac{xdx}{1+x^2}$

Para resolver essa equação, temos que integrar ambos os lados:

$\int\frac{dy}{y}=\int\frac{xdx}{1+x^2}$

Para integrar x precisamos utilizar o método da substituição.

Sendo u = 1 + x², então $\frac{du}{2}=xdx$.

Assim,

$ln(y)=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}$

$ln(y)=\frac{1}{2}ln(1+x^2)+c$

Lembrando que: $e^{ln(x)}=x$, então:

$e^{ln(y)}=e^{ln(1+x^2)^{\frac{1}{2}} + c}$

$y = (1+x^2)^{\frac{1}{2}}.c_1$

Portanto, a alternativa correta é a letra e).