Question

Resolva a equação diafontina 372x + 162y =6

Answer 1

Olá Mayara.


As equações diofantinas ó possuem solução se, e somente se, os mdc dos coeficientes de x e y dividem o termo independente 6.


mdc(372, 162):

372, 162 | 2
186, 81   | 3
  62, 27   | 2
  31, 27   | 3
   31, 9    | 3
   31, 3    | 3
   31, 1    | 31
     1, 1

Portanto o mdc será de: 2 . 3 = 6.

E 6 divide o termo independente 6, portanto existe solução.

Simplificando a equação e achando as soluções para a equação diofantina:

$\mathsf{372x+162y=6~\cdot\Big(\dfrac{1}{6}\Big)}\\\\\mathsf{62x+27y=1}\\\\\mathsf{8x+0y\equiv1~(mod~27)}\\\\\mathsf{8x\equiv1~\cdot(10)~(mod~27)}\\\\\mathsf{80x\equiv10~(mod~27)}\\\\\mathsf{-x\equiv10~(mod~27)}\\\\\mathsf{x\equiv17~(mod~27)}\\\\\boxed{\mathsf{x=27k+17}}\\\\\\\mathsf{62\cdot(27k+17)+27y=1}\\\\\mathsf{62\cdot27k+62\cdot17+27y=1}\\\\\mathsf{27y=-62\cdot27k-1.054+1}\\\\\mathsf{27y=-62\cdot27k-1.053~\cdot\Big(\dfrac{1}{27}\Big)}\\\\\boxed{\mathsf{y=-62k-39}}$


Então todas as soluções diofantinas estão representadas acima em função de k.

Dúvidas? comente.