Question

Resolva a equação de Ricatti
Eu tentei e não consegui, hora de multiplicar o fator integrante pela linear não bate a resposta
Me ajudem,please

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=\dfrac{2}{x}+\dfrac{4x^3}{4C-x^4},~C\in\mathbb{R}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Buscamos a solução geral da seguinte equação de Riccati, conhecida uma solução particular.

Seja a equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{1}{x}y+y^2$, cuja solução conhecida é $y_1=\dfrac{2}{x}$.

Consideramos $y=y_1+\dfrac{1}{v}$, pois assim conseguiremos encontrar uma equação de Bernoulli com $n=0$ em $v$.

Substituindo $y=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{v}$ na equação, teremos

$\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{1}{x}\cdot\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{v}\right)+\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{v}\right)^2$

Calcule a derivada e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{v'}{v^2}=-\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{xv}\right)+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{4}{xv}+\dfrac{1}{v^2}$

Cancele os termos opostos e some os termos semelhantes

$-\dfrac{v'}{v^2}=\dfrac{3}{xv}\right)+\dfrac{1}{v^2}$

Multiplique ambos os lados da equação por $v^2$

$v'=-\dfrac{3}{x}v-1$

Some $\dfrac{3}{x}v$ em ambos os lados da equação, a fim de que tenhamos

$v'+\dfrac{3}{x}v=-1$

Esta é uma equação de Bernoulli: ela tem a forma $y'+P(x)y=Q(x)y^n$, com $n=0$.

Devemos encontrar o fator integrante desta equação, utilizando a fórmula: $\bold{I.~F}=e^{\int P(x)\,dx}$.

Substituindo $P(x)=\dfrac{3}{x}$ na fórmula do fator integrante, temos

$\bold{I.~F}=e^{\int \frac{3}{x}\,dx}$

Calculando a integral, vemos que:

$\bold{I.~F}=e^{3(\ln|x|+C_1)}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e considere $3C_1=C_2$

$\bold{I.~F}=e^{3\ln|x|+C_2}$

Separe a potência da soma como um produto de potências de mesma base e considere $e^{C_2}=C_3$. Lembre-se que $a\log_c(b)=\log_c(b^a)$ e $e^{\ln(a)}=a$.

$\bold{I.~F}=C_3x^3$

A solução geral desta equação de Bernoulli é dada por:

$y=\displaystyle{\dfrac{\int Q(x)\cdot \bold{I.~F}\,dx}{\bold{I.~F}}$

Substituindo $Q(x)=-1$ e o fator integrante que encontramos, teremos

$v=\displaystyle{\dfrac{\int -1\cdot C_3x^3\,dx}{C_3x^3}}$

Calculando a integral no numerador, temos

$v=\dfrac{-C_3\cdot\left(\dfrac{x^4}{4}+C\right)}{C_3x^3}}$

Simplifique a fração por $C_3$ e calcule a divisão

$v=-\dfrac{x}{4}+Cx^{-3}$

Substituindo este resultado na solução geral, teremos

$y=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{\left(Cx^{-3}-\dfrac{x}{4}\right)}$

Calculando a fração de fração, obtemos

$y=\dfrac{2}{x}+\dfrac{4x^3}{4C-x^4}},~C\in\mathbb{R}$

Esta é a solução geral desta equação de Riccati.