Question

resolva a equação de números complexos z^4=1​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\{z\in\mathbb{C}~|~z=(1,~-1,~i,~-i)\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos a 2ª fórmula de De Moivre, para a radiciação de números complexos.

Seja a equação de grau $4$ com $U=\mathbb{C}$: $z^4=1$.

De acordo com o Teorema fundamental da álgebra demonstrado por Gauss, uma equação de grau $n\geq 1$ deve apresentar $n$ raízes.

Seja um número complexo na forma trigonométrica: $z=\rho\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)$, suas raízes podem ser escritas pela fórmula:

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}\cdot \left(\cos\left(\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right)$, tal que $\rho$ é o módulo do número,  $k\in\mathbb{Z}$ e varia de $0$ até $n-1$.

Assim, consideremos $w=z^4=1$, logo $w=1+0\cdot i$. Sabemos que o argumento de um número complexo de forma algébrica $a+b\cdot i$ é dado por $\theta=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$, logo teremos:

$\theta_w=\arctan\left(\dfrac{0}{1}\right)$

Sabendo que $\arctan0=0$, teremos

$\theta=0~rad$

Seu módulo é calculado pela fórmula $\rho=\sqrt{a^2+b^2}$, logo

$\rho_w=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1$

Aplicando a fórmula de De Moivre, teremos as raízes:

• $z_1=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\cdot 0\cdot \pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\cdot 0\cdot \pi}{4}\right)\right)$.
• $z_2=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\cdot 1\cdot \pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\cdot 1\cdot \pi}{4}\right)\right)$.
• $z_3=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\cdot 2\cdot \pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\cdot 2\cdot \pi}{4}\right)\right)$.
• $z_4=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\cdot 3\cdot \pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\cdot 3\cdot \pi}{4}\right)\right)$.

Multiplique e some os valores

• $z_1=1\cdot\left(\cos0+i\sin0)$.
• $z_2=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$.
• $z_3=1\cdot\left(\cos\pi+i\sin\pi)$.
• $z_4=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right)$.

Conhecendo os eixos trigonométricos, facilmente vemos que

• $z_1=1\cdot\left(1+i\cdot 0)$.
• $z_2=1\cdot(0+i\cdot 1)$.
• $z_3=1\cdot(-1+i\cdot 0)$.
• $z_4=1\cdot(0+i\cdot(-1))$.

Multiplique os valores

• $z_1=1$.
• $z_2=i$.
• $z_3=-1$.
• $z_4=-i$.

Estas são as raízes desta equação.