Question

resolva a equação da imagem a seguir ​

Answer 1

Após os cálculos realizados e analisado concluímos que  a solução da equação é, portanto, S = { 1 }.

Resolva a equação da imagem a seguir  ​$\textstyle \sf \sf \sqrt {-x^2 +5x }\; +x = 3$.

Equações irracionais  são aquelas que apresentam incógnita dentro de um radicando.

Exemplo:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{x^2 + 3} \: + x = 0 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt {-x^2 +5x }\; +x = 3 } }$

Primeiro Passo:

Isolar o radical no primeiro membro da equação.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt {-x^2 +5x } \: = 3- x } }$

Segundo passo:

Elevar os dois lados da igualdade ao quadrado para eliminar o radical.$\large \displaystyle \text { \mathsf{( \sqrt {-x^2 +5x } )^2\: = (3- x)^2 } }$

Terceiro passo:

Encontrar o valor  da variável, resolvendo a equação.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ -x^{2} +5x = 9-6x +x^{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +x^{2} -6x -5x +9 = 0 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{2x^{2} - 11x +9 = 0 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = b^2 -4ac }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta =121 - 72 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 49 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\;(-11) \pm \sqrt{ 49 } }{2 \cdot 2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{11 \pm 7 }{4 } \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{11 + 7}{4} = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2} \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{11 -7}{4} = \dfrac{4}{4} = \: \:1 \end{cases} } }$

Quarto passo:

Verificar se a solução é verdadeira.

Para x = 9/2:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt {- \: \left(\frac{9}{2} \right)^2 +5 \cdot \dfrac{9}{2} }\; + \dfrac{9}{2} = 3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt {- \: \dfrac{81}{4} + \dfrac{45}{2} }\; + \dfrac{9}{2} = 3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt {- \: \dfrac{81}{4} + \dfrac{90}{4} }\; + \dfrac{9}{2} = 3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt { \dfrac{9}{4} }\; + \dfrac{9}{2} = 3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{2} = 3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{2} = 3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{12}{2} = 3 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 6 \neq 3 }$

Para a equação irracional, o valor x = 9/2 não é uma solução verdadeira.

Para x = 1, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt {-x^2 +5x }\; +x = 3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt {-1^2 +5 \cdot 1 }\; + 1 = 3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt {- 1 + 5 }\; + 1 = 3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt {4 }\; + 1 = 3 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 2 + 1 = 3 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 3 = 3 \quad \checkmark }$  

O conjunto solução da equação é, portanto, S = {1 }.

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