Question

Resolva a equação (cos4x) . (cos2x) = (cos3x) . (cosx). Resp. kπ/5 ou kπ

Answer 1

Teoria:

Antes de tudo, lembre-se que o domínio de validade $V$ de uma equação qualquer é o conjunto constituído por todos os possíveis valores que sua incógnita $x$ (supondo equação em $x$) pode assumir, sendo este obtido através da interseção dos subdomínios de cada expressão que a constitui. Consequentemente, todas as raízes, que são os valores que satisfazem às condições impostas ou que zeram a expressão equivalente à equação (quando igualada a zero), são números pertencentes ao conjunto domínio de validade $V$. Note que o primeiro e segundo membro (lado esquerdo e direito da igualdade) da Equação Trigonométrica proposta contêm apenas Funções Trigonométricas, que são casos particulares da função genérica $f:\mathbb{R}\longrightarrow[-1,1]$, cuja lei de formação é $f(x)=\cos(kx)$; $k$ é qualquer número real distinto de zero $(k\ \in\ \mathbb{R^{*}})$. É fácil perceber que o domínio $D(f)$ de funções trigonométricas que seguem o formato acima é sempre $D(f)=\mathbb{R}$, logo o domínio de validade de equações que contêm apenas expressões do tipo $f(x)=\cos(kx)$ é $V=\mathbb{R}$. É de fundamental importância ter em mente que, para quaisquer $\alpha$ e $\beta$ reais $(\alpha,\ \beta\ \in\ \mathbb{R})$, $\cos(\alpha)=\cos(\beta)$ se, e somente se, $\alpha =\beta +2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}$ ou $\alpha =-\beta +2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}$. Ou seja:

$\alpha =\beta +2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \lor\ \ \ \alpha=-\beta +2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}$

Também deve-se lembrar de uma das Fórmulas de Transformação de Soma em Produto, que garante:

$\cos(\alpha +\beta)+\cos(\alpha -\beta)=2\cos(\alpha)\cos(\beta);\ \forall\ \alpha,\ \beta\ \in\ \mathbb{R}$

Resolução:

A equação trigonométrica proposta é dada por $\cos(4x)\cos(2x)=\cos(3x)\cos(x)$. Assim sendo, vamos à sua resolução:

$\cos(4x)\cos(2x)=\cos(3x)\cos(x)\ \ \ \Rightarrow$

$2\cos(4x)\cos(2x)=2\cos(3x)\cos(x)\ \ \ \Rightarrow$

$\cos(4x+2x)+\cos(4x-2x)=\cos(3x+x)+\cos(3x-x)\ \ \ \Rightarrow$

$\cos(6x)+\cos(2x)=\cos(4x)+\cos(2x)\ \ \ \Rightarrow$

$\cos(6x)+\cos(2x)-\cos(2x)=\cos(4x)+\cos(2x)-\cos(2x)\ \ \ \Rightarrow$

$\cos(6x)=\cos(4x)\ \ \ \Rightarrow$

$6x=4x+2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \lor\ \ \ 6x=-4x+2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \Rightarrow$

$2x=2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \lor\ \ \ 10x=2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \Rightarrow$

$x=k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \lor\ \ \ x=\cfrac{k\pi}{5},\ k\ \in\ \mathbb{Z}$

Um grande abraço!