Question

Resolva a equação cos²x + senx= 1, sendo x um arco pertencente ao intervalo [0,2π[

Lembre-se: sen²x+cos²x= 1

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\cos {}^{2} (x) + \sin {}^{} (x) = 1$

A própria questão já nos dá uma dica, relembrando a relação fundamental da trigonometria: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$. Usando essa relação, podemos isolar o cosseno e obter uma relação em função do seno:

$\cos {}^{2} (x) = 1 - \sin {}^{2} (x)$

Substituindo essa informação:

$1 - \sin {}^{2} (x) + \sin {}^{} (x) = 1 \\ \sin {}^{2} (x) - \sin(x) = 0 \\\sin(x).[\sin(x) - 1] = 0$Pela lei do anulamento de produto, sabemos que:

$\bullet \: A \cdot B = 0 \Longleftrightarrow A = 0 \lor B = 0 \: \bullet$

Isto é, quando tem-se um produto e o resultado é igual a 0, quer dizer que um dos fatores é igual a "0". Aplicando essa Lei na nossa equação, temos:

$\sin(x) = 0 \: \: \: ou \: \: \: \sin(x) - 1 = 0 \\ \sin(x) = 0 \: \: \: ou \: \: \: \sin(x) = 1 \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos interpretar essas respostas através do intervalo dado. O intervalo [0, 2π[ representa a mesma coisa que: $0\leq x < 2\pi$, ou seja, o intervalo vai de 0 até valores menores que 2π, não incluindo o próprio. Então podemos dizer que as respostas são:

$\sin(x) = 0 \to x = \begin{cases} \arcsin(0) = 0 \\ \arcsin(0) = \pi \end{cases} \\ \sin(x)= 1 \to x = \begin{cases} \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Logo, o conjunto solução é dado por:

$\star \: \: \: \: \: \: S = \left \{0, \frac{\pi}{2} ,\pi\right \} \: \: \: \: \star$

Espero ter ajudado