Question

Resolva a equação cos (x - π/2) = √3/2:

Answer 1

Temos a seguinte equação.

$\blue\bullet \sf cos \left( x - \frac{ \pi }{2} \right) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \blue\bullet$

Primeiro vamos começar fazendo a distributiva do cosseno com o parêntese, mas lembre-se que a distributividade na trigonometria é um pouco diferente, pois para o cosseno devemos seguir essa regra:

$\green\bigstar \sf cos(x \pm y) = cos(x).cos(y) \pm sen(x).sen(y) \green\bigstar$

Aplicando:

$\sf cos \left( x - \frac{ \pi }{2} \right) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sf cos(x).cos \left(\frac{\pi}{2} \right) + sen(x).sen \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sf cos(x).cos(90 {}^{ \circ} ) + sen(x).sen(90 {}^{ \circ} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\\sf \cancel{ cos(x) \: . \: 0} + sen(x) \: . \: 1 = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sf sen(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

• Chegamos a uma expressão bem mais simples. Agora devemos descobrir qual o ângulo possui o seno igual a √3/2, para isso basta recorrer a tabela de arcos notáveis, certamente você observará que corresponde a 60°, portanto essa é uma resposta:

$\sf sen(x) = sen(60 {}^{ \circ} ) \\ \sf sen(x) = sen \left( \frac{\pi}{3} \right)$

Como a questão não fala de intervalos, então esse valor será válido para outros ângulos congruos a π/3, para isso temos uma notação de como escrever a resposta, dada por:

$\orange\bigstar\sf x = \alpha + 2k\pi \: \: ou \: \: (\pi - \alpha ) + 2k\pi\orange\bigstar$

Sendo (alfa) o ângulo que temos, portanto vamos substituir na notação:

$\sf x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \: \: ou \: \: \left (\pi - \frac{\pi}{3} \right)+ 2k\pi \\ \sf x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \: \: ou \: \: \left( \frac{3\pi - \pi}{3} \right) + 2k\pi \\ \orange{\boxed{\green{\boxed{\red{\boxed{\sf x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \: \: ou \: \: \frac{2\pi}{3} + 2k\pi}}}}}}$

Espero ter ajudado