Question

Resolva a equação cos (3x) = cos x

Answer 1

A solução dessa equação é {0, π}.

Podemos escrever 3x como 2x + x, logo, podemos utilizar a identidade cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sen(A)sen(B):

cos(3x) = cos(2x)cos(x) - sen(2x)sen(x)

Outras identidades úteis serão:

sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

cos(2x) = 2cos²(x) - 1

sen²(x) + cos²(x) = 1

Logo, temos:

cos(3x) = (2cos²(x) - 1)cos(x) - 2sen(x)cos(x)sen(x)

cos(3x) = 2cos³(x) - cos(x) - 2sen²(x)cos(x)

cos(3x) = 2cos³(x) - cos(x) - 2(1 - cos²(x))cos(x)

cos(3x) = 2cos³(x) - cos(x) - 2cos(x) + cos³(x)

cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x)

Substituindo esse resultado, temos:

4cos³(x) - 3cos(x) = cos(x)

4cos³(x) = 4cos(x)

cos²(x) = 1

cos(x) = ±1

x' = 0

x'' = π