Question

Resolva a equação cos^2 x+2-3sen^2x=0, considerando o conjunto universo U=[0,2π). ​

Answer 1

Resposta: S = {pi/3, 2pi/3, 4pi/3, 5pi/3}

— Primeira Resolução

cos²(x) + 2 - 3sen²(x) = 0 =>

[1 - sen²(x)] * + 2 - 3sen²(x) = 0 =>

1 - sen²(x) - 3sen²(x) + 2 = 0 =>

3 - 4sen²(x) = 0 =>

4sen²(x) = 3 =>

2|sen(x)| = raiz de(3) =>

|sen(x)| = raiz de(3)/2 =>

sen(x) = raiz de(3)/2 (i)

ou

sen(x) = - raiz de(3)/2 (ii)

De (i) temos:

sen(x) = sen(pi/3) =>

x = pi/3 + 2kpi, k inteiro e 0 <= x < 2pi =>

x = pi/3

ou

x = pi - pi/3 + 2kpi, k inteiro =>

x = 2pi/3 + 2kpi, k inteiro e 0 <= x < 2pi =>

x = 2pi/3

De (ii) temos:

sen(x) = - raiz de(3)/2 =>

sen(x) = sen(- pi/3) =>

x = - pi/3 + 2kpi, k inteiro e 0 <= x < 2pi =>

x = 5pi/3

ou

x = pi - (- pi/3) + 2kpi, k inteiro =>

x = 3pi/3 + pi/3 + 2kpi, k inteiro =>

x = 4pi/3 + 2kpi, k inteiro e 0 <= x < 2pi =>

x = 4pi/3

Logo, o conjunto solução, no intervalo [0, 2pi) = [0, 2pi [ é dado por:

S = {pi/3, 2pi/3, 4pi/3, 5pi/3}

— Segunda Solução

cos²(x) + 2 - 3sen²(x) = 0 =>

1/[tg²(x) + 1] + 2[1 + tg²(x)]/[1 + tg²(x)] - 3tg²(x)/[tg²(x) + 1] = 0 =>

[1 + 2 + 2tg²(x) - 3tg²(x)]/[tg²(x) + 1] = 0 =>

[3 - tg²(x)]/[1 + tg²(x)] = 0 =>

3 - tg²(x) = 0 =>

tg²(x) = 3 =>

|tg(x)| = raiz de(3) =>

tg(x) = raiz de(3) => x = pi/3 + kpi, k inteiro e 0 <= x < 2pi =>

x = pi/3 e x = 4pi/3

ou

tg(x) = - raiz de(3) =>

x = - pi/3 + kpi, k inteiro e 0 <= x < 2pi =>

x = 2pi/3 e x = 5pi/3

Continuando...

S = {pi/3, 2pi/3, 4pi/3, 5pi/3}

* sen²(x) + cos²(x) = 1 <=> cos²(x) = 1 - sen²(x), para todo x real.

Abraços!