Question

Resolva a equação algébrica

Answer 1

$x^{5} -4x^{4} + 2x^{3} + 9x^{2} -12x +4=0$

O polinômio do quinto grau precisa ter seu grau diminuído ao segundo para que possamos usar a fórmula de Bhāskara. Para isso usamos o dispositivo de Briot-Ruffini:

Como a soma dos coeficientes de todos os termos do polinômio é 0, 1 é uma das raízes do polinômio e deverá ser usada para reduzir o grau do polinômio para um novo polinômio de quarto grau:

1   |   1   -4   2   9   -12   4

       1   -3   -1   8   -4    0

coloca-se os coeficientes dos termos do polinômio de quinto grau deste modo e uma das raízes do outro lado da barra, então, ao realizar o dispositivo, estes serão os coeficientes dos termos do novo polinômio, agora de grau 4:

$x^{4} -3x^{3} -x^{2} +8x -4 = 0$

Observação: o novo polinômio nada mais é que o polinômio antigo sem uma de suas raízes:

$x^{5} -4x^{4} + 2x^{3} + 9x^{2} -12x +4=0$

$(x-1)*x^{4} -3x^{3} -x^{2} +8x -4 = 0$

Nota-se que a soma dos coeficientes do novo polinômios é $\neq$ 0, então 1 é raiz apenas uma vez (multiplicidade = 1). Deveremos utilizar uma outra técnica para determinar as 4 raízes restantes:

Para testar outras raízes, a conta, ao substituir a raiz testada, deverá resultar em zero:

$x^{4} -3x^{3} -x^{2} +8x -4 = 0$

Ao testarmos 2 como raiz, o resultado é 0, então também é raiz:

$x^{4} -3x^{3} -x^{2} +8x -4 = 0\\2^{4} -3*2^{3} -2^{2} +8*2 -4 = 0\\16 - 24 -4 + 16 -4 = 0\\0 = 0$

Já fatoramos o polinômio do quinto grau duas vezes, restando estas parcelas:

$(x-1)*(x-2)*(x^3 -x^2 -3x + 2) = 0$

Ao testarmos 2 como raiz de novo, o resultado é 0, então também é raiz:

$x^3-x^2-3x+2=0$

$2^3 -2^2 -3*2 + 2 = 0\\8 -4 -6 +2 =0\\0 =0$

então 2 é raiz do polinômio inicial do quinto grau duas vezes (multiplicidade = 2):

$(x-1)*(x-2)^{2}*(x^2+x-1)$

Para determinar as outras duas raízes do polinômio de quinto grau, pode-se efetuar Bhāskara em $x^2+x-1=0$ :

$x^2+x-1=0\\Modelo: ax^2 + bx + c=0\\discriminante = b^2 -4*a*c\\discriminante = 1^2 -4*1*(-1)\\discriminante = 5$

$x= \frac{-b±\sqrt[2]{discriminante}}{2*a}\\x= \frac{-1±\sqrt[2]{5}}{2*1}\\x= \frac{-1±\sqrt[2]{5}}{2}$

Portanto, as duas últimas raízes são:

$x= \frac{-1-\sqrt[2]{5}}{2}$   e   $x= \frac{-1+\sqrt[2]{5}}{2}$

E o polinômio completamente fatorado em raízes reais fica:

$(x-1)*(x-2)^{2}*(x^2+x-1)=0$

S = {x ∈ R | x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 2 ∨ $x= \frac{-1-\sqrt[2]{5}}{2}$  ∨ $x= \frac{-1+\sqrt[2]{5}}{2}$ }

Observações:

O símbolo "∨" significa "ou".

Na função polinomial do quinto grau do exercício, x é uma abscissa genérica do conjunto de domínio e y uma imagem genérica do conjunto imagem.

As raízes são pontos da curva da função em que y = 0, ou seja apresentam o modelo de par ordenado (x; 0).