Question

resolva a equação a) (x-2)²=2(x-1).(x+2) b) (x+2).(x-4)=(X-5).(x+3) c)
x²+12x-189=0

Answer 1

Resposta:

a) S = {- ( 3 - √17 ) ; - ( 3 + √17 )

b) Esta equação não tem raiz.  S = {  }  ( conjunto vazio )

c) S = { - 21 ; 9 }

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Resolva a equação

a) (x-2)²=2(x-1).(x+2)

b) (x+2).(x-4)=(X-5).(x+3)

c)  x²+12x-189=0

Resolução:

a) ( x - 2 )² = 2 * ( x - 1 ) * ( x + 2 )

No primeiro membro tem um produto notável, "o quadrado de uma diferença"

Resolve-se genericamente assim:

quadrado do primeiro termo + dobro do produto do primeiro pelo segundo termos + o quadrado do segundo termo

(x-2)² = x² + 2 * x * ( - 2 ) + ( - 2 )²

simplificando

(x-2)² = x² - 4x  + 4

No segundo membro aplico por duas etapas  a Propriedade distributiva da multiplicação pela soma algébrica ( inclui adição e subtração)

2 ( x - 1 ) * ( x + 2 )

= ( 2*x - 2* 1 ) * ( x + 2 )

= ( 2x - 2) * ( x + 2 )

= 2x * x + 2x * 2 - 2 * x - 2 * 2

= 2x² + 4x - 2x - 4  

= 2x² + 2x  - 4  

Então fica:

a) ( x - 2 )² = 2 * ( x - 1 ) * ( x + 2 )

⇔ x² - 4x  + 4 =  2x² + 2x  - 4  

É  uma equação do segundo grau, passar tudo para o primeiro membro e resolver os termos semelhantes.

Sempre que mude de membro, algum termo , trocar seu sinal.

⇔ x² - 2x² - 4x - 2x  + 4  + 4 =  0

⇔ ( 1 - 2 )x² + ( - 4 - 2 ) x + 8 =  0

⇔ - x² - 6 x + 8 =  0

Usar fórmula de Bhaskara

- x² - 6 x + 8 =  0  

x = ( - b ±√Δ ) /2a

a = - 1  

b = - 6

c =    8

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = (- 6 )² - 4 * ( - 1 ) * 8  =  36+32 = 68

√Δ = √68 =  $\sqrt{68} = \sqrt{2^{2} *17} = 2*\sqrt{17}$

x' = ( - ( - 6 ) + 2*√17  ) / ( 2* ( - 1 ))

x' = ( 6 + 2*√17  ) / ( - 2 )

Colocando em evidência 2 no numerador

x' = 2* ( 3 + √17  ) / ( - 2 )

x' = - ( 3 + √17  )

x'' = - ( 3 - √17 )

ºººººººººººººººººººººººººººº

b) ( x + 2 ) * ( x - 4 ) = ( x - 5 ) * ( x + 3 )

Aplicar a Propriedade Distributiva da Multiplicação pela Soma algébrica ( inclui adição e subtração)

⇔ x² - 4x + 2x - 8 = x² + 3x - 5x - 15

Passar tudo para o 1º membro e reduzir termos semelhantes

⇔ x² - x² - 2x + 2x - 8 = - 15

Temos termos simétrico que se cancelam na soma algébrica

⇔ - 8  + 15 = 0        

O que é falso. Logo esta equação não tem raiz.

ººººººººººººººººººººººººººººººº

c)  x² + 12 x - 189 = 0  

Usar fórmula de Bhaskara

x = ( - b ±√Δ ) /2a

a =    1

b =   12

c =  - 189

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = 12² - 4 * 1  * ( - 189 ) = 144 + 756 =   900

√Δ = √900 =  30

x' = ( - 12 + 30  ) / ( 2 * 1 )

x' = 18 / 2

x' = 9

x'' = ( - 12 - 30  ) / 2

x'' = - 42 / 2

x'' = - 21

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir           (⇔) equivalente a   ( ± )  mais ou menos      ( x ' e x'' ) são nomes dados às raízes da função  

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.