Question

Resolva a equação: a) (n+1)!+n!/(n+2)!=1/28

Answer 1

Olá.

Antes de começar a desenvolver, é interessante conhecer o conceito de fatorial.

Fatorial consiste no produto de um valor natural com todos os seus antecessores naturais até chegar em 1. A partir desse conceito, podemos deduzir o que apresento a seguir:

$\mathsf{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot...\cdot1}\\\\\mathsf{(n+1)!=(n+1)\cdot n!}\\\\\mathsf{(n+2)!=(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!}$

Além do conceito de fatorial, iremos usar fatoração por evidência (colocar em evidência um número que multiplica/divide igualmente determinados termos) e cancelamento de termos (em produtos em frações, quando há valores multiplicando, igualmente, no numerador e no denominador, podemos cancelar).

Usando o que foi supramencionado, vamos aos cálculos.

Temos a expressão:

$\mathsf{\dfrac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}=\dfrac{1}{28}}$

O primeiro passo é expandir os fatoriais, depois, colocar o n! em evidência. Teremos:

$\mathsf{\dfrac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}=\dfrac{1}{28}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(n+1)\cdot n!+n!}{(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!}=\dfrac{1}{28}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{n!\cdot\left[(n+1)+1\right]}{n!\cdot(n+2)\cdot(n+1)}=\dfrac{1}{28}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{n!\cdot\left[n+2\right]}{n!\cdot(n+2)\cdot(n+1)}=\dfrac{1}{28}}$

Cancelando "(n + 2)" e "n!", que estão multiplicando tanto no denominador, quanto no numerador, teremos:

$\mathsf{\dfrac{n!\cdot\left[n+2\right]}{n!\cdot(n+2)\cdot(n+1)}=\dfrac{1}{28}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{(n+1)}=\dfrac{1}{28}}$

Multiplicando cruzado, poderemos encontrar o valor de n. Teremos:

$\mathsf{\dfrac{1}{(n+1)}=\dfrac{1}{28}}\\\\\mathsf{(n+1)\cdot1=1\cdot28}\\\\\mathsf{n+1=28}\\\\\mathsf{n=28-1}\\\\\mathsf{n=27}$

Temos que n = 27.

______________________________________

Vamos testar?

Para o teste, desenvolvo a expressão inicial substituindo o valor de n por 27. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{\dfrac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}=\dfrac{1}{28}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(27+1)!+27!}{(27+2)!}=\dfrac{1}{28}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{28!+27!}{29!}=\dfrac{1}{28}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{27!\cdot(28+1)}{29\cdot28\cdot27!}=\dfrac{1}{28}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{27!\cdot(29)}{29\cdot28\cdot27!}=\dfrac{1}{28}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{28}=\dfrac{1}{28}\ \ \checkmark}$

Testado e aprovado. $\checkmark$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.