Question

Resolva a equação: |5x+2|+|x-4|=12

Answer 1

Somando os X e levando os números pra lá >
5x + x = 12 - 2 + 4

6x = 14

x = 14 / 6 

x = 7 / 3

Bons Estudos !

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para resolver a seguinte equação modular:

|5x+2| + |x-4| = 12 .

Veja, Wilkson, que equações modulares têm suas condições de existência. Então vamos a elas:

i) Para (5x+2) e (x-4) MAIORES do que zero, teremos:

5x+2 > 0
5x > -2
x > - 2/5
e
x - 4 > 0
x > 4

Agora note: entre x > - 2/5; e x > 4 vai prevalecer x > 4, pois sendo x > 4 já é maior do que "-2/5". Então, quando (5x+2) e (x-4) forem maiores do que zero vai prevalecer x > 4.
Dessa forma, a nossa expressão ficará sendo:

5x + 2 + x - 4 = 12 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
6x - 2 = 12
6x = 12 + 2
6x = 14
x = 14/6 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:
x = 7/3 <---- Veja que 7/3 é menor do que "4". Logo, descartaremos esta resposta, pois ela não atende à condição de existência para (5x+2) e (x-4) maiores do que zero, que teríamos que encontrar x > 4. Por isso é que esta resposta é descartada.

ii) Para (5x+2) e (x-4) MENORES do que zero, iremos ter:

5x + 2 < 0
5x < - 2
x < - 2/5
e
x - 4 < 0
x < 4

Agora veja: entre "x" ser menor do que "4" e menor do que "-2/5", vai prevalecer "x" menor do que "-2/5", pois sendo "x" menor do que "-2/5", já será menor do que 4.

Agora vamos para a nossa expressão, que é:

-(5x+2) + [-(x-4)] = 12
- 5x - 2 - x + 4 = 12
- 6x + 2 = 12
- 6x = 12 - 2
- 6x =  10 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
6x = - 10
x = - 10/6 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:
x = - 5/3 <---- Solução válida, pois "-5/3" é menor do que "-2/5" e, assim, atende à condição de existência para (5x+2) e (x-4) MENORES do que zero.

iii) Para (5x+2) MAIOR do que zero e (x-4) MENOR do que zero, teremos:

5x + 2 > 0
5x > - 2
x > -2/5
e
x - 4 < 0
x < 4.

Assim, deveremos ter, quando formos ver a expressão inteira, que o valor deverá ficar entre: "-2/5" e "4", ou seja, deveremos ver se estará dentro do seguinte intervalo -2/5 < x < 4.

Vamos para a expressão:
5x + 2 + [-(x-4)] = 12
5x + 2 - (x-4) = 12
5x + 2 - x + 4 = 12
4x + 6 = 12
4x = 12-6
4x = 6
x = 6/4 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:
x = 3/2 <---- Resposta válida, pois está dentro do intervalo da condição de existência para (5x+2) maior do que zero e (x-4) menor do que zero.

iv) Agora note que deveremos ficar por aqui mesmo, pois se formos colocar (5x+2) menor do que zero e (x-4) maior do que zero, iríamos ter condições de existência que não teria intervalo (como o intervalo que vimos na condição anterior, item "iii"). Nem também iríamos encontrar condições de existência tal a que encontramos no item "ii".

Assim, a resposta correta para a sua expressão modular será esta:

x = - 5/3 ou x = 3/2   <--- Esta deverá ser a resposta. Ou seja, os possíveis valores de "x" deverão ser estes (x = - 5/3, ou x = 3/2). Qualquer outra resposta que não seja esta estará fora das condições de existência de equações modulares.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.