Question

Resolva a Equação 3+8+13+ ... + x = 1575, sabendo que as parcelas do primeiro membro formam uma PA.

Gente me ajuda por favooor

Answer 1

Olá Luciana,

os dados são:

$\begin{cases}\mathsf{a_1=3}\\ \mathsf{r=(a_2-a_1)=8-3=5}\\ \mathsf{a_n=x}\\ \mathsf{S_n=1.575}\end{cases}$

Vamos recorrer à fórmula do termo geral da P.A.:

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)r}\\ \mathsf{x=3+(n-1)\cdot5}\\ \mathsf{x=3+5n-5}\\ \mathsf{x=5n-2}\\ \mathsf{5n=x+2}\\\\ \mathsf{n= \dfrac{x+2}{5} }$

Agora à fórmula da soma dos n primeiros termos da soma da P.A.:

$\mathsf{S_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2} }\\\\ \mathsf{ \dfrac{(3+x)\cdot\left( \dfrac{x+2}{5} \right)}{2}=1.575 }\\\\ \mathsf{ \left(\dfrac{x+2}{5}\right)\cdot(x+3)= 3.150}\\\\ \mathsf{ \dfrac{x^2+3x+2x+6}{5}=3.150 }\\\\ \mathsf{x^2+5x+6=15.750}\\ \mathsf{x^2+5x-15.744=0\to(EQ.~DO~2^o~GRAU)}$

$\mathsf{\Delta=5^2-4\cdot1\cdot(-15.744)}\\ \mathsf{\Delta=25+62.976}\\ \mathsf{\Delta=63.001}\\\\ \mathsf{x= \dfrac{-5\pm \sqrt{63.001} }{2\cdot1} = \dfrac{-5\pm251}{2} }\begin{cases}\mathsf{x_1=123}\\ \mathsf{x_2=-128}\end{cases}$

Como a progressão aritmética acima é crescente, temos que:

$\huge\boxed{\mathsf{x=123}}$

Tenha ótimos estudos ;P