Question

Resolva a equação 3+5+7+...+$x^{2}$ =624, sabendo que as parcelas do primeiro membro estão em PA.

Answer 1

Olá Vitória,

vamos identificar os termos desta P.A.:

$\begin{cases}a_1=3\\ r=a_2-a_1~\to~r=5-3~\to~r=2\\ a_n= x^{2} \\ S_n=624\end{cases}$

Pela fórmula do termo geral da P.A. podemos substituir os termos identificados:

$a_n=a_1+(n-1)r\\ x^{2} =3+(n-1)*2\\ x^{2} =3+2n-2\\ x^{2} =2n+1\\ x^{2} -1=2n\\\\ n= \dfrac{ x^{2} -1}{2}$

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Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A. com a soma igual a 624:

$S_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\\\ 624= \dfrac{(3+ x^{2} )* \dfrac{ x^{2} -1}{2} }{2}\\\\ 624*2= (3+ x^{2} )* \dfrac{ x^{2}-1}{2}\\\\ 1.248= \dfrac{(3+ x^{2})( x^{2} -1)}{2}\\\\ 1.248*2=3 x^{2} -3+ x^{4}- x^{2}\\ 2.496= x^{4}+2 x^{2} -3\\ x^{4}+2 x^{2} -2.499=0~\to~equac\~ao~incompleta~de~4\°~grau$

Fatorando a equação:

$( x^{2} )^2+2 x^{2} -2.499=0$

Fazendo $x^{2} =k$, teremos:

$k^2+2k-2.499=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=2^2-4*1*(-2.499)\\ \Delta=4+9.996\\ \Delta=10.000$

$k= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\\\ k= \dfrac{-2\pm \sqrt{10.000} }{2*1}\to~k= \dfrac{-2\pm100}{2}\begin{cases}k'= \dfrac{-2+100}{2}~\to~k'=49\\\\ k''= \dfrac{-2-100}{2}\to~k''=-51\end{cases}$

Retomando a variável inicial, $x^{2} =k$:

$x^{2} =49~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x^{2} =-51~n\~ao~ serve\\ x=\pm \sqrt{49}\\ x=\pm7$

Portanto, concluí-se que x vale -7 ou 7, e x² vale 49.

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))