Question

Resolva a equação 2.z+z.i=12+9.i em C

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre números complexos.

Seja a equação: $2z+z\cdot i=12+9i$. Devemos resolvê-la, sendo $\mathbb{U=C}$.

Considere o número complexo $z=a+bi$, em que $z\in\mathbb{C}$ e $a,~b\in\mathbb{R},~b\neq0$ e $i=\sqrt{-1}$ é a unidade imaginária.

Substituindo sua forma algébrica na equação, temos:

$2\cdot(a+bi)+(a+bi)\cdot i=12+9i$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$2a+2bi+ai+bi^2=12+9i$

Calcule a potência e some os termos semelhantes

$2a+2bi+ai-b=12+9i\\\\\ (2a - b) + (2b + a)\cdot i = 12 + 9i$

Com isso, igualamos as partes reais e imaginárias da equação, de modo que tenhamos o seguinte sistema:

$\begin{cases}2a-b=12\\2b+a=9\\\end{cases}$

Multiplique a segunda equação por $(-2)$ e some à primeira equação.

$\begin{cases}2a-b=12\\2b+a=9~\times(-2)\\\end{cases}\\\\\\ \begin{cases}2a-b=12\\-4b-2a=-18\\\end{cases}\\\\\\ 2a-b-4b-2a=12-18$

Some os termos semelhantes e cancele os termos opostos

$-5b=-6$

Divida ambos os lados da equação por um fator $(-5)$

$\dfrac{-5b}{-5}=\dfrac{-6}{-5}\\\\\\ b = \dfrac{6}{5}$

Substitua este valor em qualquer uma das equações, de modo a encontrar a parte real de $z$

$2a - \dfrac{6}{5}=12$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $5$

$10a-6=60$

Some $6$ em ambos os lados da equação

$10a=66$

Divida ambos os lados da equação por um fator $10$ e simplifique a fração

$\dfrac{10a}{10}=\dfrac{66}{10}\\\\\\ a = \dfrac{33}{5}$

Substituindo estes valores na forma algébrica de $z$, temos:

$z=\dfrac{33}{5}+\dfrac{6i}{5}$

Re-substituindo este resultado na equação, temos:

$2\cdot\left(\dfrac{33}{5}+\dfrac{6i}{5}\right)+\left(\dfrac{33}{5}+\dfrac{6i}{5}\right)\cdot i = 12 + 9i\\\\\\ \dfrac{66}{5}+\dfrac{12i}{5}+\dfrac{33i}{5}-\dfrac{6}{5}=12+9i\\\\\\ \dfrac{60}{5}+\dfrac{45i}{5}=12+9i\\\\\\ 12 + 9i=12 + 9i~~\checkmark$

Dessa forma, o conjunto solução da equação é:

$\boxed{\bold{S=\left\{z\in\mathbb{C}~|~z=\dfrac{33}{5}+\dfrac{6i}{5}\right\}}}$

Answer 2

Resposta:

Z=5+2i

Explicação passo a passo: