Question

Resolva a equação:
2.4^x - 9.2^x + 4=0
Resultado x= -1 e x=2

Answer 1

$2\cdot 4^x-9\cdot 2^x +4=0$

$2\cdot (2^2)^x-9\cdot 2^x+4=0$

$2\cdot (2^x)^2-9\cdot 2^x+4=0$

Realizamos a substituição $2^x=u$

$2u^2-9u+4=0$

Agora podemos aplicar Bhaskara:

$\triangle=b^2-4.a.c=(-9)^2-4.2.4=81-32=49$

$u_1=\frac{-b+\sqrt{\triangle} }{2a}= \frac{9+\sqrt{49} }{2.2}=\frac{9+7}{4}=\frac{16}{4}=4$

$u_2=\frac{-b-\sqrt{\triangle} }{2a}= \frac{9-\sqrt{49} }{2.2}=\frac{9-7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Encontramos os dois valores possíveis de $u$. Mas não é isso que queremos, nós queremos os valores de $x$. Vamos então reverter a substituição de $u$ para $x$:

$2^{x_1}=u_1$

$2^{x_1}=4$

$2^{x_1}=2^2$

$x_1=2$

$2^{x_2}=u_2$

$2^{x_2}=\frac{1}{2}$

$2^{x_2}=2^{-1}$

$x_2=-1$

Concluímos então que a variável $x$ assume o seguinte conjunto solução:

$S=\{-1,\ 2\}$