Question

resolva a equação:
1+7+...+x=280
*a soma é um P.A

Answer 1

Uma P.A é uma sequência de números onde cada número, a partir do segundo, é igual a soma do anterior com a razão.

Podemos encontrar a razão da seguinte forma:

$r=a_n-a_{n-1}\\\\r=7-1\\\\r=6$

A soma dos termos de uma P.A pode ser encontrada pela seguinte fórmula:

$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Onde:

a1 = primeiro termo

an = o último termo

n = quantidade de termos

Nessa P.A, o primeiro termo é 1. Não sabemos o valor do último termo, mas podemos encontrar em função de n:

$a_n=a_1+(n-1)r\\\\a_n=1+(n-1)\cdot6\\\\a_n=1+6n-6\\\\a_n=6n-5$

Substituindo na fórmula de soma:

$S_n=\frac{(1+6n-5)\cdot n}{2}\\\\S_n=\frac{(6n-4)\cdot n}{2}\\\\S_n=\frac{6n^2-4n}{2}\\\\S_n=3n^2-2n$

Foi informado o valor da soma igual a 280.

$3n^2-2n=280\\\\3n^2-2n-280=0\\\\\\\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-280)=4+3360=3364\\\\\sqrt{\Delta}=58\\\\\\n=\frac{-(-2)\pm58}{2\cdot3}=\frac{2\pm58}{6}=\frac{60}{6}=10$

Como o valor deve ser positivo, foi desconsiderado o outro valor possível para a solução da equação.

Sabendo que x corresponde o décimo termo:

$a_{10}=1+(10-1)\cdot6\\\\a_{10}=1+54\\\\a_{10}=55$

Resposta: 55

Answer 2

Resposta:

x = 55

Explicação passo-a-passo:

Trata-se da soma de termos de uma progressão aritmética (P. A).

Então temos 1 + 7 + 13 + ... + x = 280

Assim a questão pede que se descubra qual é o termo aₙ da progressão para o qual a soma de a₁ até aₙ seja igual a 280.

Sabemos que soma dos termos de uma P.A de a₁ até aₙ é dada por:

Sₙ = (a₁ + aₙ). n/2

Assim, com os dados do problema temos:

a₁ = primeiro termo da P.A = 1

aₙ = último termo da P.A que entrará na soma = X

Sₙ = soma de a₁ até x = 280

Sₙ = (a₁ + aₙ). n/2

180 = (1 + x). n/2         (Equação I)

Para resolver a Equação I precisamos saber qual é a posição n do termo x na P.A. Ou seja, até qual termo n temos que somar para obter a soma de 280.

Para isso lembre que em qualquer P.A:

aₙ = a₁ + (n-1) . r , onde r = razão da P.A

No caso do nosso problema sabemos que a razão é 6, pois o primeiro termo é 1 e o segundo termo é 7, então nossa progressão aumenta de 6 em 6.

Assim, temos:

aₙ = a₁ + (n-1) . r

x = 1 + (n-1) . 6

x = 6n - 5               (Equação II)

Vamos agora usar a  Equação I e a  Equação II para descobrir a posição n do termo X nesse P.A:

180 = (1 + x). n/2

180 = (1 + 6n - 5) . n/2

(6n - 4) . n/2 = 180

(3n - 2) . n = 180

3n² - 2n - 180 = 0

Resolvendo a equação em n (use a fómula de Baskara), temos

n = 10  (Atenção, o resultado negativo -28/3 não tem sentido devendo ser desconsiderado no problema)

Voltando na Equação II

x = 6 . 10 - 5 = 60 -5 = 55

x = 55 (Resposta)

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Note como a resposta faz sentido:

a) Se retomarmos a fórmula da soma dos termos teremos que encontrar a soma de 280:

Sₙ = (a₁ + aₙ). n/2

Sₙ = (1 + x). n/2

Sₙ = (1 + 55). 10/2

Sₙ = (56). 10/2

Sₙ = 56 . 5 = 280

b) Veja que a P.A em questão é:

P.A = {1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55 ...}

Se somarmos novamente os termos de 1 até 55 a resposta é exatamente 280.