Question

Resolva a EDO: dy/dx = (y^2 +2xy)/x^2​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{y=-\dfrac{x^2}{x+C},~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta equação diferencial ordinária, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a EDO:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2+2xy}{x^2}$

Separe a fração como uma soma de frações

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{2xy}{x^2}$

Subtraia $\dfrac{2xy}{x^2}$ em ambos os lados da equação e simplifique a fração

$\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{2y}{x}=\dfrac{y^2}{x^2}$

Esta é uma equação de Bernoulli: ela assume a forma $y'+p(x)y=q(x)y^n$, neste caso, com $n=2$.

Então. fazemos uma substituição $z=y^{1-n}$, para encontrarmos o caso $n=0$ e resolvê-la utilizando o método do fator integrante. Assim, teremos:

$z=y^{1-2}\\\\\\ z=y^{-1}$

Eleve ambos os lados da equação a $(-1)$ e efetue a propriedade da potência de potência

$z^{-1}=y$

Diferenciando ambos os lados em respeito à variável $x$, teremos:

$-\dfrac{1}{z^2}\cdot\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dy}{dx}$

Substituindo estes termos na equação, teremos:

$-\dfrac{1}{z^2}\cdot\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{2\cdot z^{-1}}{x}=\dfrac{(z^{-1})^2}{x^2}$

Multiplique ambos os lados da equação por $-z^2$, de modo que:

$\dfrac{dz}{dx}+\dfrac{2z}{x}=-\dfrac{1}{x^2}$

Assim, ela assume a forma com $n=0$. Seu fator integrante é calculado por: $\bold{I.~F=e^{\int p(x)\,dx}}$.

Substituindo $p(x)=\dfrac{2}{x}$. teremos:

$\bold{I.~F=e^{\int\frac{2}{x}\,dx}}$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$ e calcule a integral imediata: $\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$.

$\bold{I.~F=e^{2\int\frac{1}{x}\,dx}}\\\\\\ \bold{I.~F=e^{2(\ln|x|+C_1)}}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e considere $2C_1=C_2$

$\bold{I.~F=e^{2\ln|x|+C_2}}$

Aplique a propriedade do produto de potências de mesma base (em que se somam os expoentes) e considere $e^{C_2}=C_3$

$\bold{I.~F=e^{2\ln|x|}\cdot e^{C_2}}\\\\\\ \bold{I.~F=C_3e^{2\ln|x|}}$

Aplique a propriedade de logaritmos, de forma que tenhamos:

$\bold{I.~F=C_3x^2}$

A solução geral da equação será dada por: $z=\dfrac{\displaystyle{\int q(x)\cdot \bold{I.~F}\,dx}}{\bold{I.~F}}$

Substituindo $q(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ e o fator integrante que calculamos, temos

$z=\dfrac{\displaystyle{\int -\dfrac{1}{x^2}\cdot C_3x^2\,dx}}{C_3x^2}}$

Aplique a propriedade da constante e multiplique os valores

$z=\dfrac{\displaystyle{-C_3\int \dfrac{1}{x^2}\cdot x^2\,dx}}{C_3x^2}}\\\\\\ z=\dfrac{\displaystyle{-C_3\int 1\,dx}}{C_3x^2}}$

Simplifique a fração e calcule a integral, utilizando a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$, sabendo que $\displaystyle{\int 1\,dx=\int x^0\,dx}$

$z=\dfrac{\displaystyle{-\int 1\,dx}}{x^2}}\\\\\\ z=-\dfrac{x+C}{x^2}}$

Por fim, desfaça a substituição $z=y^{-1}$

$y^{-1}=-\dfrac{x+C}{x^2}$

Inverta a fração

$y=-\dfrac{x^2}{x+C}$

Esta é a solução geral desta equação diferencial.