Question

Resolva a determinante 4x4.

$\left[\begin{array}{cccc}3&5&2&2\\1&0&3&4\\0&2&3&2\\2&1&2&6\end{array}\right]$

Answer 1

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Calcular o determinante da matriz 4 × 4:

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix}3&5&2&2\\1&0&3&4\\0&2&3&2\\2&1&2&6\end{bmatrix}$


Para o cálculo deste determinante, vamos utilizar o Teorema de Laplace. Este método consiste em eliminar uma fila da matriz (linha ou coluna), de preferência a que possui mais zeros e/ou a que possui os elementos com maiores valores absolutos.

Para esta questão por exemplo, eliminaremos a  2ª coluna, isto é, o determinante da matriz será desenvolvido via Laplace pela 2ª coluna.

Feito isso, para cada elemento da 2ª coluna que foi eliminada, elimina-se também a linha correspondente a aquele elemento, e calcula-se o determinante da matriz menor formada pelos elementos restantes.

O valor deste determinante menor correspondente a cada elemento da fila eliminada, é chamado  cofator  daquele elemento. Usaremos a notação  $c_{ij}$  para nos referir ao cofator correspondente ao elemento  $a_{ij}$  da matriz  A  original.

Dessa forma, o determinante da matriz  A  é dado por

(como escolhemos eliminar a coluna $j=2,$ faremos os índices $i$ das linhas variarem no somatório seguinte)

$\mathrm{det\,}\mathbf{A}=\displaystyle\sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot c_{ij}\qquad\quad \textrm{mas }j=2\\\\\\ \mathrm{det\,}\mathbf{A}=\displaystyle\sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+2}\cdot a_{i2}\cdot c_{i2}\\\\\\ \mathrm{det\,}\mathbf{A}=(-1)^{1+2}\cdot a_{12}\cdot c_{12}+(-1)^{2+2}\cdot a_{22}\cdot c_{22}+(-1)^{3+2}\cdot a_{32}\cdot c_{32}+(-1)^{4+2}\cdot a_{42}\cdot c_{42}\\\\ \mathrm{det\,}\mathbf{A}=(-1)^3\cdot a_{12}\cdot c_{12}+(-1)^4\cdot a_{22}\cdot c_{22}+(-1)^5\cdot a_{32}\cdot c_{32}+(-1)^6\cdot a_{42}\cdot c_{42}$


Portanto,

$\mathrm{det\,}\mathbf{A}=-a_{12}\cdot c_{12}+a_{22}\cdot c_{22}-a_{32}\cdot c_{32}+a_{42}\cdot c_{42}\qquad\quad\mathbf{(i)}$

onde cada cofator $c_{i2}$ é o valor do determinante da matriz menor obtida ao eliminar-se a  linha $i$ e a  coluna 2  da matriz  A.

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Calculando os cofatores:

•  Eliminando a  1ª linha e a  2ª coluna  de  A, e calculando o determinante:

$c_{12}=\begin{vmatrix} 1&3&4\\ 0&3&2\\ 2&2&6 \end{vmatrix}$


Resolvendo pela Regra de Sarrus,

$\begin{array}{lr} c_{12}=&1\cdot 3\cdot 6+3\cdot 2\cdot 2+4\cdot 0\cdot 2\\ &-2\cdot 3\cdot 4-2\cdot 2\cdot 1-6\cdot 0\cdot 3 \end{array}\\\\\\ \begin{array}{lr}c_{12}=&18+12+0\\ &-24-4-0 \end{array}\\\\\\ c_{12}=30-28\\\\ c_{12}=2\qquad\quad\checkmark$


•  Eliminando a  2ª linha  e a  2ª coluna  de  A, e calculando o determinante:

$c_{22}=\begin{vmatrix} 1&3&4\\ 0&3&2\\ 2&2&6 \end{vmatrix}$


pela Regra de Sarrus,

$\begin{array}{lr} c_{22}=&3\cdot 3\cdot 6+2\cdot 2\cdot 2+2\cdot 0\cdot 2\\ &-2\cdot 3\cdot 2-2\cdot 2\cdot 3-6\cdot 0\cdot 2 \end{array}\\\\\\ \begin{array}{lr}c_{22}=&54+8+0\\ &-12-12-0 \end{array}\\\\\\ c_{22}=62-24\\\\ c_{22}=38\qquad\quad\checkmark$

Observe que poderíamos nem ter calculado este cofator acima, pois o elemento correspondente $a_{22}$ é nulo.


•  Eliminando a  3ª linha  e a  2ª coluna  de  A, e calculando o determinante:

$c_{32}=\begin{vmatrix} 3&2&2\\ 1&3&4\\ 2&2&6 \end{vmatrix}$


pela Regra de Sarrus,

$\begin{array}{lr} c_{32}=&3\cdot 3\cdot 6+2\cdot 4\cdot 2+2\cdot 1\cdot 2\\ &-2\cdot 3\cdot 2-2\cdot 4\cdot 3-6\cdot 1\cdot 2 \end{array}\\\\\\ \begin{array}{lr}c_{32}=&54+16+4\\ &-12-24-12 \end{array}\\\\\\ c_{32}=74-48\\\\ c_{32}=26\qquad\quad\checkmark$


•  Eliminando a  4ª linha  e a  2ª coluna  de  A, e calculando o determinante:

$c_{42}=\begin{vmatrix} 3&2&2\\ 1&3&4\\ 0&3&2 \end{vmatrix}$


pela Regra de Sarrus,

$\begin{array}{lr} c_{42}=&3\cdot 3\cdot 2+2\cdot 4\cdot 0+2\cdot 1\cdot 3\\ &-0\cdot 3\cdot 2-3\cdot 4\cdot 3-2\cdot 1\cdot 2 \end{array}\\\\\\ \begin{array}{lr}c_{42}=&18+0+6\\ &-0-36-4 \end{array}\\\\\\ c_{42}=24-40\\\\ c_{42}=-16\qquad\quad\checkmark$

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Substituindo os valores na fórmula $\mathbf{(i)},$ temos que o determinante procurado é

$\mathrm{det\,}\mathbf{A}=-a_{12}\cdot c_{12}+a_{22}\cdot c_{22}-a_{32}\cdot c_{32}+a_{42}\cdot c_{42}\\\\ \mathrm{det\,}\mathbf{A}=-5\cdot 2+0\cdot 38-2\cdot 26+1\cdot (-16)\\\\ \mathrm{det\,}\mathbf{A}=-10+0-52-16\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathrm{det\,}\mathbf{A}=-78 \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textrm{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  matriz quadrada determinante laplace cofator sarrus álgebra linear

Answer 2

Matriz 4x4

$\left[\begin{array}{cccc}3&5&2&2\\1&0&3&4\\0&2&3&2\\2&1&2&6&\end{array}\right]$

Método do Menor Fator.

Escolhe-se a linha ou coluna com maior número de zeros. Nesta matriz as opções são iguais. Temos duas linhas e duas colunas com um zero.

Escolhendo a primeira coluna:

a₁₁ = 3

a₂₁ = 1

a₃₁ = 0 ⇒ este elemento vamos descartar porque é zero.

a₄₁ = 2

Calculando o cofator (A) de cada elemento:

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ . D₁₁

A₁₁ = (-1)² .    $\left[\begin{array}{ccc}0&3&4\\2&3&2\\1&2&6\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0&3\\2&3\\1&2\end{array}\right]$

A₁₁ = 1 . [(0 + 6 + 16) - (12 + 0 + 36)]

A₁₁ = 1 . [22 - 48]

A₁₁ = 1 . -26

A₁₁ = - 26

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A₂₁ = (-1)²⁺¹ . D₂₁

A₂₁ = (-1)³ . $\left[\begin{array}{ccc}5&2&2\\2&3&2\\1&2&6\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}5&2\\2&3\\1&2\end{array}\right]$

A₂₁ = (-1) . [90+4 + 8) - (6 + 20 + 24)]

A₂₁ = (-1) . [102 - 50]

A₂₁ = (-1) . 52

A₂₁ = - 52

========================================

A₄₁ = (-1)⁴⁺¹ . D₄₁

A₄₁ = (-1)⁵ . $\left[\begin{array}{ccc}5&2&2\\0&3&4\\2&3&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}5&2\\0&3\\2&3\end{array}\right]$

A₄₁ = (-1) . [(30 + 16 + 0) - (12 + 60 + 0)]

A₄₁= (-1) . [46 - 72]

A₄₁ = (-1) . [-26]

A₄₁ = 26

Calculando o determinante da matriz:

D = a₁₁.A₁₁ + A₂₁. A₂₁ + A₄₁. A₄₁

D = 3 (-26) + 1 . (-52) + 2 . 26

D = - 78 - 52 + 52

D = -78

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